Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76341 / 58687
↖ ↑ ↗
← N 18.482214°
E 29.676819°		 ← 289.67 m → N 18.482214°
E 29.679566°		 →
↑
289.69 m
↓
↑
289.69 m
↓
N 18.479609°
E 29.676819°		 ← 289.68 m →
83 916 m²		 N 18.479609°
E 29.679566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582439422607422 y=0.447750091552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582439422607422 × 217)
    floor (0.582439422607422 × 131072)
    floor (76341.5)     		tx = 76341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447750091552734 × 217)
    floor (0.447750091552734 × 131072)
    floor (58687.5)     		ty = 58687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76341 / 58687 ti = "17/76341/58687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76341/58687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76341 ÷ 217
    76341 ÷ 131072     		x = 0.582435607910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58687 ÷ 217
    58687 ÷ 131072     		y = 0.447746276855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582435607910156 × 2 - 1) × π
    0.164871215820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.51795820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447746276855469 × 2 - 1) × π
    0.104507446289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.328319825497765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51795820} λ = 0.51795820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.328319825497765))-π/2
    2×atan(1.38863302152381)-π/2
    2×0.94668590702624-π/2
    1.89337181405248-1.57079632675     		φ = 0.32257549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51795820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.676819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32257549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.482214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76341 KachelY 58687 0.51795820 0.32257549 29.676819 18.482214
    Oben rechts KachelX + 1 76342 KachelY 58687 0.51800614 0.32257549 29.679566 18.482214
    Unten links KachelX 76341 KachelY + 1 58688 0.51795820 0.32253002 29.676819 18.479609
    Unten rechts KachelX + 1 76342 KachelY + 1 58688 0.51800614 0.32253002 29.679566 18.479609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32257549-0.32253002) × R
    4.54700000000474e-05 × 6371000     		dl = 289.689370000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32257549-0.32253002) × R
    4.54700000000474e-05 × 6371000     		dr = 289.689370000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51795820-0.51800614) × cos(0.32257549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948422107738776 × 6371000     		do = 289.672524088285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51795820-0.51800614) × cos(0.32253002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948436521214896 × 6371000     		du = 289.676926334895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32257549)-sin(0.32253002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948422107738776-0.948436521214896)×R²
    abs(0.51800614-0.51795820)×1.44134761195236e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44134761195236e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44134761195236e-05×40589641000000     		ar = 83915.6886660098m²