Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7634 / 10382
↖ ↑ ↗
← S 43.293200°
W 12.260742°		 ← 1 778.35 m → S 43.293200°
W 12.238769°		 →
↑
1 778.08 m
↓
↑
1 778.08 m
↓
S 43.309191°
W 12.260742°		 ← 1 777.88 m →
3 161 638 m²		 S 43.309191°
W 12.238769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465972900390625 y=0.633697509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465972900390625 × 214)
    floor (0.465972900390625 × 16384)
    floor (7634.5)     		tx = 7634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633697509765625 × 214)
    floor (0.633697509765625 × 16384)
    floor (10382.5)     		ty = 10382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7634 / 10382 ti = "14/7634/10382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7634/10382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7634 ÷ 214
    7634 ÷ 16384     		x = 0.4659423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10382 ÷ 214
    10382 ÷ 16384     		y = 0.6336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.068115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21399032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.839854481343384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21399032} λ = -0.21399032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839854481343384))-π/2
    2×atan(0.4317733499356)-π/2
    2×0.407593718805097-π/2
    0.815187437610194-1.57079632675     		φ = -0.75560889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21399032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.260742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75560889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.293200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7634 KachelY 10382 -0.21399032 -0.75560889 -12.260742 -43.293200
    Oben rechts KachelX + 1 7635 KachelY 10382 -0.21360682 -0.75560889 -12.238769 -43.293200
    Unten links KachelX 7634 KachelY + 1 10383 -0.21399032 -0.75588798 -12.260742 -43.309191
    Unten rechts KachelX + 1 7635 KachelY + 1 10383 -0.21360682 -0.75588798 -12.238769 -43.309191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75560889--0.75588798) × R
    0.000279090000000037 × 6371000     		dl = 1778.08239000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75560889--0.75588798) × R
    0.000279090000000037 × 6371000     		dr = 1778.08239000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21399032--0.21360682) × cos(-0.75560889) × R
    0.000383500000000009 × 0.727854142788759 × 6371000     		do = 1778.35037821175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21399032--0.21360682) × cos(-0.75588798) × R
    0.000383500000000009 × 0.727662733506539 × 6371000     		du = 1777.8827120278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75560889)-sin(-0.75588798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727854142788759-0.727662733506539)×R²
    abs(-0.21360682--0.21399032)×0.000191409282220723×R²
    0.000383500000000009×0.000191409282220723×6371000²
    0.000383500000000009×0.000191409282220723×40589641000000     		ar = 3161637.736769m²