Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76339 / 58585
↖ ↑ ↗
← N 18.747709°
E 29.671326°		 ← 289.16 m → N 18.747709°
E 29.674072°		 →
↑
289.18 m
↓
↑
289.18 m
↓
N 18.745108°
E 29.671326°		 ← 289.16 m →
83 620 m²		 N 18.745108°
E 29.674072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582424163818359 y=0.446971893310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582424163818359 × 217)
    floor (0.582424163818359 × 131072)
    floor (76339.5)     		tx = 76339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446971893310547 × 217)
    floor (0.446971893310547 × 131072)
    floor (58585.5)     		ty = 58585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76339 / 58585 ti = "17/76339/58585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76339/58585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76339 ÷ 217
    76339 ÷ 131072     		x = 0.582420349121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58585 ÷ 217
    58585 ÷ 131072     		y = 0.446968078613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582420349121094 × 2 - 1) × π
    0.164840698242188 × 3.1415926535     		Λ = 0.51786233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446968078613281 × 2 - 1) × π
    0.106063842773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.33320938925901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51786233} λ = 0.51786233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.33320938925901))-π/2
    2×atan(1.3954394579153)-π/2
    2×0.949002787816611-π/2
    1.89800557563322-1.57079632675     		φ = 0.32720925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51786233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.671326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32720925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.747709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76339 KachelY 58585 0.51786233 0.32720925 29.671326 18.747709
    Oben rechts KachelX + 1 76340 KachelY 58585 0.51791026 0.32720925 29.674072 18.747709
    Unten links KachelX 76339 KachelY + 1 58586 0.51786233 0.32716386 29.671326 18.745108
    Unten rechts KachelX + 1 76340 KachelY + 1 58586 0.51791026 0.32716386 29.674072 18.745108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32720925-0.32716386) × R
    4.5390000000034e-05 × 6371000     		dl = 289.179690000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32720925-0.32716386) × R
    4.5390000000034e-05 × 6371000     		dr = 289.179690000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51786233-0.51791026) × cos(0.32720925) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.946942981414454 × 6371000     		do = 289.160431098477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51786233-0.51791026) × cos(0.32716386) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.946957568857706 × 6371000     		du = 289.164885549761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32720925)-sin(0.32716386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946942981414454-0.946957568857706)×R²
    abs(0.51791026-0.51786233)×1.4587443252001e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.4587443252001e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.4587443252001e-05×40589641000000     		ar = 83619.9679081988m²