Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76338 / 58678
↖ ↑ ↗
← N 18.505657°
E 29.668579°		 ← 289.63 m → N 18.505657°
E 29.671326°		 →
↑
289.63 m
↓
↑
289.63 m
↓
N 18.503052°
E 29.668579°		 ← 289.64 m →
83 886 m²		 N 18.503052°
E 29.671326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582416534423828 y=0.447681427001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582416534423828 × 217)
    floor (0.582416534423828 × 131072)
    floor (76338.5)     		tx = 76338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447681427001953 × 217)
    floor (0.447681427001953 × 131072)
    floor (58678.5)     		ty = 58678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76338 / 58678 ti = "17/76338/58678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76338/58678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76338 ÷ 217
    76338 ÷ 131072     		x = 0.582412719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58678 ÷ 217
    58678 ÷ 131072     		y = 0.447677612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582412719726562 × 2 - 1) × π
    0.164825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51781439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447677612304688 × 2 - 1) × π
    0.104644775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.328751257594345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51781439} λ = 0.51781439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.328751257594345))-π/2
    2×atan(1.38923225163393)-π/2
    2×0.946890482899835-π/2
    1.89378096579967-1.57079632675     		φ = 0.32298464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51781439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.668579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32298464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.505657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76338 KachelY 58678 0.51781439 0.32298464 29.668579 18.505657
    Oben rechts KachelX + 1 76339 KachelY 58678 0.51786233 0.32298464 29.671326 18.505657
    Unten links KachelX 76338 KachelY + 1 58679 0.51781439 0.32293918 29.668579 18.503052
    Unten rechts KachelX + 1 76339 KachelY + 1 58679 0.51786233 0.32293918 29.671326 18.503052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32298464-0.32293918) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dl = 289.625659999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32298464-0.32293918) × R
    4.54599999999972e-05 × 6371000     		dr = 289.625659999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51781439-0.51786233) × cos(0.32298464) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.94829232360943 × 6371000     		do = 289.63288467521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51781439-0.51786233) × cos(0.32293918) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.948306751555417 × 6371000     		du = 289.63729134129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32298464)-sin(0.32293918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94829232360943-0.948306751555417)×R²
    abs(0.51786233-0.51781439)×1.44279459878272e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.44279459878272e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.44279459878272e-05×40589641000000     		ar = 83885.7535379511m²