Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76336 / 59312
↖ ↑ ↗
← N 16.846605°
E 29.663086°		 ← 292.26 m → N 16.846605°
E 29.665832°		 →
↑
292.30 m
↓
↑
292.30 m
↓
N 16.843977°
E 29.663086°		 ← 292.26 m →
85 428 m²		 N 16.843977°
E 29.665832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582401275634766 y=0.452518463134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582401275634766 × 217)
    floor (0.582401275634766 × 131072)
    floor (76336.5)     		tx = 76336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452518463134766 × 217)
    floor (0.452518463134766 × 131072)
    floor (59312.5)     		ty = 59312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76336 / 59312 ti = "17/76336/59312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76336/59312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76336 ÷ 217
    76336 ÷ 131072     		x = 0.5823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59312 ÷ 217
    59312 ÷ 131072     		y = 0.4525146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5823974609375 × 2 - 1) × π
    0.164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51771852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4525146484375 × 2 - 1) × π
    0.094970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.298359263235229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51771852} λ = 0.51771852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.298359263235229))-π/2
    2×atan(1.34764586053139)-π/2
    2×0.93241252683832-π/2
    1.86482505367664-1.57079632675     		φ = 0.29402873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51771852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.663086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29402873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.846605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76336 KachelY 59312 0.51771852 0.29402873 29.663086 16.846605
    Oben rechts KachelX + 1 76337 KachelY 59312 0.51776645 0.29402873 29.665832 16.846605
    Unten links KachelX 76336 KachelY + 1 59313 0.51771852 0.29398285 29.663086 16.843977
    Unten rechts KachelX + 1 76337 KachelY + 1 59313 0.51776645 0.29398285 29.665832 16.843977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29402873-0.29398285) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dl = 292.301479999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29402873-0.29398285) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dr = 292.301479999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51771852-0.51776645) × cos(0.29402873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957084077863856 × 6371000     		do = 292.257136897364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51771852-0.51776645) × cos(0.29398285) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957097373357681 × 6371000     		du = 292.261196836348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29402873)-sin(0.29398285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.957084077863856-0.957097373357681)×R²
    abs(0.51776645-0.51771852)×1.32954938246721e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.32954938246721e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.32954938246721e-05×40589641000000     		ar = 85427.78703369m²