Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76335 / 58927
↖ ↑ ↗
← N 17.855904°
E 29.660339°		 ← 290.71 m → N 17.855904°
E 29.663086°		 →
↑
290.71 m
↓
↑
290.71 m
↓
N 17.853290°
E 29.660339°		 ← 290.72 m →
84 514 m²		 N 17.853290°
E 29.663086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582393646240234 y=0.449581146240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582393646240234 × 217)
    floor (0.582393646240234 × 131072)
    floor (76335.5)     		tx = 76335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449581146240234 × 217)
    floor (0.449581146240234 × 131072)
    floor (58927.5)     		ty = 58927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76335 / 58927 ti = "17/76335/58927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76335/58927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76335 ÷ 217
    76335 ÷ 131072     		x = 0.582389831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58927 ÷ 217
    58927 ÷ 131072     		y = 0.449577331542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582389831542969 × 2 - 1) × π
    0.164779663085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51767058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449577331542969 × 2 - 1) × π
    0.100845336914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.316814969588951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51767058} λ = 0.51767058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.316814969588951))-π/2
    2×atan(1.37274854819699)-π/2
    2×0.941220324868768-π/2
    1.88244064973754-1.57079632675     		φ = 0.31164432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51767058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.660339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31164432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.855904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76335 KachelY 58927 0.51767058 0.31164432 29.660339 17.855904
    Oben rechts KachelX + 1 76336 KachelY 58927 0.51771852 0.31164432 29.663086 17.855904
    Unten links KachelX 76335 KachelY + 1 58928 0.51767058 0.31159869 29.660339 17.853290
    Unten rechts KachelX + 1 76336 KachelY + 1 58928 0.51771852 0.31159869 29.663086 17.853290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31164432-0.31159869) × R
    4.56299999999632e-05 × 6371000     		dl = 290.708729999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31164432-0.31159869) × R
    4.56299999999632e-05 × 6371000     		dr = 290.708729999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51767058-0.51771852) × cos(0.31164432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951830668640806 × 6371000     		do = 290.713586324122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51767058-0.51771852) × cos(0.31159869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951844658910524 × 6371000     		du = 290.717859312604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31164432)-sin(0.31159869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951830668640806-0.951844658910524)×R²
    abs(0.51771852-0.51767058)×1.39902697179339e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.39902697179339e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.39902697179339e-05×40589641000000     		ar = 84513.5985861177m²