Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76333 / 58637
↖ ↑ ↗
← N 18.612410°
E 29.654846°		 ← 289.39 m → N 18.612410°
E 29.657593°		 →
↑
289.43 m
↓
↑
289.43 m
↓
N 18.609807°
E 29.654846°		 ← 289.40 m →
83 760 m²		 N 18.609807°
E 29.657593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582378387451172 y=0.447368621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582378387451172 × 217)
    floor (0.582378387451172 × 131072)
    floor (76333.5)     		tx = 76333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447368621826172 × 217)
    floor (0.447368621826172 × 131072)
    floor (58637.5)     		ty = 58637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76333 / 58637 ti = "17/76333/58637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76333/58637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76333 ÷ 217
    76333 ÷ 131072     		x = 0.582374572753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58637 ÷ 217
    58637 ÷ 131072     		y = 0.447364807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582374572753906 × 2 - 1) × π
    0.164749145507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51757471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447364807128906 × 2 - 1) × π
    0.105270385742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.330716670478767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51757471} λ = 0.51757471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.330716670478767))-π/2
    2×atan(1.39196535155585)-π/2
    2×0.947822084730871-π/2
    1.89564416946174-1.57079632675     		φ = 0.32484784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51757471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.654846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32484784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.612410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76333 KachelY 58637 0.51757471 0.32484784 29.654846 18.612410
    Oben rechts KachelX + 1 76334 KachelY 58637 0.51762264 0.32484784 29.657593 18.612410
    Unten links KachelX 76333 KachelY + 1 58638 0.51757471 0.32480241 29.654846 18.609807
    Unten rechts KachelX + 1 76334 KachelY + 1 58638 0.51762264 0.32480241 29.657593 18.609807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32484784-0.32480241) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dl = 289.434530000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32484784-0.32480241) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dr = 289.434530000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51757471-0.51762264) × cos(0.32484784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.947699301469164 × 6371000     		do = 289.391382526383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51757471-0.51762264) × cos(0.32480241) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.947713800138404 × 6371000     		du = 289.395809869454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32484784)-sin(0.32480241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947699301469164-0.947713800138404)×R²
    abs(0.51762264-0.51757471)×1.44986692397486e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44986692397486e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44986692397486e-05×40589641000000     		ar = 83760.4995150314m²