Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76333 / 58581
↖ ↑ ↗
← N 18.758112°
E 29.654846°		 ← 289.14 m → N 18.758112°
E 29.657593°		 →
↑
289.18 m
↓
↑
289.18 m
↓
N 18.755512°
E 29.654846°		 ← 289.15 m →
83 615 m²		 N 18.755512°
E 29.657593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582378387451172 y=0.446941375732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582378387451172 × 217)
    floor (0.582378387451172 × 131072)
    floor (76333.5)     		tx = 76333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446941375732422 × 217)
    floor (0.446941375732422 × 131072)
    floor (58581.5)     		ty = 58581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76333 / 58581 ti = "17/76333/58581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76333/58581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76333 ÷ 217
    76333 ÷ 131072     		x = 0.582374572753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58581 ÷ 217
    58581 ÷ 131072     		y = 0.446937561035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582374572753906 × 2 - 1) × π
    0.164749145507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51757471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446937561035156 × 2 - 1) × π
    0.106124877929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.333401136857491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51757471} λ = 0.51757471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.333401136857491))-π/2
    2×atan(1.39570705573498)-π/2
    2×0.949093572039987-π/2
    1.89818714407997-1.57079632675     		φ = 0.32739082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51757471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.654846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32739082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.758112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76333 KachelY 58581 0.51757471 0.32739082 29.654846 18.758112
    Oben rechts KachelX + 1 76334 KachelY 58581 0.51762264 0.32739082 29.657593 18.758112
    Unten links KachelX 76333 KachelY + 1 58582 0.51757471 0.32734543 29.654846 18.755512
    Unten rechts KachelX + 1 76334 KachelY + 1 58582 0.51762264 0.32734543 29.657593 18.755512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32739082-0.32734543) × R
    4.5390000000034e-05 × 6371000     		dl = 289.179690000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32739082-0.32734543) × R
    4.5390000000034e-05 × 6371000     		dr = 289.179690000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51757471-0.51762264) × cos(0.32739082) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946884608916599 × 6371000     		do = 289.142606354706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51757471-0.51762264) × cos(0.32734543) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.946899204163865 × 6371000     		du = 289.147063189039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32739082)-sin(0.32734543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946884608916599-0.946899204163865)×R²
    abs(0.51762264-0.51757471)×1.45952472664357e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45952472664357e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45952472664357e-05×40589641000000     		ar = 83614.8136987644m²