Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76330 / 58907
↖ ↑ ↗
← N 17.908182°
E 29.646606°		 ← 290.63 m → N 17.908182°
E 29.649353°		 →
↑
290.58 m
↓
↑
290.58 m
↓
N 17.905569°
E 29.646606°		 ← 290.63 m →
84 452 m²		 N 17.905569°
E 29.649353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582355499267578 y=0.449428558349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582355499267578 × 217)
    floor (0.582355499267578 × 131072)
    floor (76330.5)     		tx = 76330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449428558349609 × 217)
    floor (0.449428558349609 × 131072)
    floor (58907.5)     		ty = 58907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76330 / 58907 ti = "17/76330/58907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76330/58907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76330 ÷ 217
    76330 ÷ 131072     		x = 0.582351684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58907 ÷ 217
    58907 ÷ 131072     		y = 0.449424743652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582351684570312 × 2 - 1) × π
    0.164703369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51743089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449424743652344 × 2 - 1) × π
    0.101150512695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.317773707581352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51743089} λ = 0.51743089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317773707581352))-π/2
    2×atan(1.37406528548633)-π/2
    2×0.941676535857232-π/2
    1.88335307171446-1.57079632675     		φ = 0.31255674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51743089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.646606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31255674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.908182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76330 KachelY 58907 0.51743089 0.31255674 29.646606 17.908182
    Oben rechts KachelX + 1 76331 KachelY 58907 0.51747883 0.31255674 29.649353 17.908182
    Unten links KachelX 76330 KachelY + 1 58908 0.51743089 0.31251113 29.646606 17.905569
    Unten rechts KachelX + 1 76331 KachelY + 1 58908 0.51747883 0.31251113 29.649353 17.905569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31255674-0.31251113) × R
    4.56099999999737e-05 × 6371000     		dl = 290.581309999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31255674-0.31251113) × R
    4.56099999999737e-05 × 6371000     		dr = 290.581309999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51743089-0.51747883) × cos(0.31255674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951550502455112 × 6371000     		do = 290.628016359534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51743089-0.51747883) × cos(0.31251113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951564526198566 × 6371000     		du = 290.632299571756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31255674)-sin(0.31251113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951550502455112-0.951564526198566)×R²
    abs(0.51747883-0.51743089)×1.40237434541612e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40237434541612e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40237434541612e-05×40589641000000     		ar = 84451.6920417189m²