Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7633 / 5049
↖ ↑ ↗
← N 56.644147°
W 12.282715°		 ← 1 343.41 m → N 56.644147°
W 12.260742°		 →
↑
1 343.64 m
↓
↑
1 343.64 m
↓
N 56.632063°
W 12.282715°		 ← 1 343.84 m →
1 805 348 m²		 N 56.632063°
W 12.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465911865234375 y=0.308197021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465911865234375 × 214)
    floor (0.465911865234375 × 16384)
    floor (7633.5)     		tx = 7633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308197021484375 × 214)
    floor (0.308197021484375 × 16384)
    floor (5049.5)     		ty = 5049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7633 / 5049 ti = "14/7633/5049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7633/5049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7633 ÷ 214
    7633 ÷ 16384     		x = 0.46588134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5049 ÷ 214
    5049 ÷ 16384     		y = 0.30816650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.0682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21437382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30816650390625 × 2 - 1) × π
    0.3836669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20532540404669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21437382} λ = -0.21437382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20532540404669))-π/2
    2×atan(3.33784504965445)-π/2
    2×1.27971159732128-π/2
    2.55942319464257-1.57079632675     		φ = 0.98862687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21437382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.282715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98862687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.644147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7633 KachelY 5049 -0.21437382 0.98862687 -12.282715 56.644147
    Oben rechts KachelX + 1 7634 KachelY 5049 -0.21399032 0.98862687 -12.260742 56.644147
    Unten links KachelX 7633 KachelY + 1 5050 -0.21437382 0.98841597 -12.282715 56.632063
    Unten rechts KachelX + 1 7634 KachelY + 1 5050 -0.21399032 0.98841597 -12.260742 56.632063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98862687-0.98841597) × R
    0.000210900000000014 × 6371000     		dl = 1343.64390000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98862687-0.98841597) × R
    0.000210900000000014 × 6371000     		dr = 1343.64390000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21437382--0.21399032) × cos(0.98862687) × R
    0.000383499999999981 × 0.549837315299393 × 6371000     		do = 1343.40569096866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21437382--0.21399032) × cos(0.98841597) × R
    0.000383499999999981 × 0.550013461885939 × 6371000     		du = 1343.83606613642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98862687)-sin(0.98841597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549837315299393-0.550013461885939)×R²
    abs(-0.21399032--0.21437382)×0.000176146586546744×R²
    0.000383499999999981×0.000176146586546744×6371000²
    0.000383499999999981×0.000176146586546744×40589641000000     		ar = 1805348.00407093m²