Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76329 / 58665
↖ ↑ ↗
← N 18.539513°
E 29.643860°		 ← 289.52 m → N 18.539513°
E 29.646606°		 →
↑
289.56 m
↓
↑
289.56 m
↓
N 18.536909°
E 29.643860°		 ← 289.52 m →
83 833 m²		 N 18.536909°
E 29.646606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582347869873047 y=0.447582244873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582347869873047 × 217)
    floor (0.582347869873047 × 131072)
    floor (76329.5)     		tx = 76329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447582244873047 × 217)
    floor (0.447582244873047 × 131072)
    floor (58665.5)     		ty = 58665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76329 / 58665 ti = "17/76329/58665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76329/58665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76329 ÷ 217
    76329 ÷ 131072     		x = 0.582344055175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58665 ÷ 217
    58665 ÷ 131072     		y = 0.447578430175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582344055175781 × 2 - 1) × π
    0.164688110351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.51738296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447578430175781 × 2 - 1) × π
    0.104843139648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.329374437289406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51738296} λ = 0.51738296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329374437289406))-π/2
    2×atan(1.39009826277712)-π/2
    2×0.947185931922961-π/2
    1.89437186384592-1.57079632675     		φ = 0.32357554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51738296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.643860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32357554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.539513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76329 KachelY 58665 0.51738296 0.32357554 29.643860 18.539513
    Oben rechts KachelX + 1 76330 KachelY 58665 0.51743089 0.32357554 29.646606 18.539513
    Unten links KachelX 76329 KachelY + 1 58666 0.51738296 0.32353009 29.643860 18.536909
    Unten rechts KachelX + 1 76330 KachelY + 1 58666 0.51743089 0.32353009 29.646606 18.536909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32357554-0.32353009) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dl = 289.561950000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32357554-0.32353009) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dr = 289.561950000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51738296-0.51743089) × cos(0.32357554) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.948104607421712 × 6371000     		do = 289.515147574824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51738296-0.51743089) × cos(0.32353009) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.948119057659545 × 6371000     		du = 289.519560128783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32357554)-sin(0.32353009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948104607421712-0.948119057659545)×R²
    abs(0.51743089-0.51738296)×1.44502378326417e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44502378326417e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44502378326417e-05×40589641000000     		ar = 83833.2095546698m²