Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76328 / 59882
↖ ↑ ↗
← N 15.342464°
E 29.641113°		 ← 294.54 m → N 15.342464°
E 29.643860°		 →
↑
294.53 m
↓
↑
294.53 m
↓
N 15.339816°
E 29.641113°		 ← 294.54 m →
86 752 m²		 N 15.339816°
E 29.643860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582340240478516 y=0.456867218017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582340240478516 × 217)
    floor (0.582340240478516 × 131072)
    floor (76328.5)     		tx = 76328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456867218017578 × 217)
    floor (0.456867218017578 × 131072)
    floor (59882.5)     		ty = 59882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76328 / 59882 ti = "17/76328/59882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76328/59882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76328 ÷ 217
    76328 ÷ 131072     		x = 0.58233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59882 ÷ 217
    59882 ÷ 131072     		y = 0.456863403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58233642578125 × 2 - 1) × π
    0.1646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51733502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456863403320312 × 2 - 1) × π
    0.086273193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.271035230451798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51733502} λ = 0.51733502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.271035230451798))-π/2
    2×atan(1.31132126801153)-π/2
    2×0.91928642467166-π/2
    1.83857284934332-1.57079632675     		φ = 0.26777652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51733502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.641113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26777652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.342464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76328 KachelY 59882 0.51733502 0.26777652 29.641113 15.342464
    Oben rechts KachelX + 1 76329 KachelY 59882 0.51738296 0.26777652 29.643860 15.342464
    Unten links KachelX 76328 KachelY + 1 59883 0.51733502 0.26773029 29.641113 15.339816
    Unten rechts KachelX + 1 76329 KachelY + 1 59883 0.51738296 0.26773029 29.643860 15.339816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26777652-0.26773029) × R
    4.6230000000036e-05 × 6371000     		dl = 294.531330000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26777652-0.26773029) × R
    4.6230000000036e-05 × 6371000     		dr = 294.531330000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51733502-0.51738296) × cos(0.26777652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.964361585517256 × 6371000     		do = 294.540850883988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51733502-0.51738296) × cos(0.26773029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.96437381638321 × 6371000     		du = 294.544586505273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26777652)-sin(0.26773029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964361585517256-0.96437381638321)×R²
    abs(0.51738296-0.51733502)×1.22308659538106e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.22308659538106e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.22308659538106e-05×40589641000000     		ar = 86752.0586944657m²