Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76328 / 58920
↖ ↑ ↗
← N 17.874203°
E 29.641113°		 ← 290.68 m → N 17.874203°
E 29.643860°		 →
↑
290.65 m
↓
↑
290.65 m
↓
N 17.871590°
E 29.641113°		 ← 290.69 m →
84 486 m²		 N 17.871590°
E 29.643860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582340240478516 y=0.449527740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582340240478516 × 217)
    floor (0.582340240478516 × 131072)
    floor (76328.5)     		tx = 76328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449527740478516 × 217)
    floor (0.449527740478516 × 131072)
    floor (58920.5)     		ty = 58920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76328 / 58920 ti = "17/76328/58920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76328/58920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76328 ÷ 217
    76328 ÷ 131072     		x = 0.58233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58920 ÷ 217
    58920 ÷ 131072     		y = 0.44952392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58233642578125 × 2 - 1) × π
    0.1646728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51733502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44952392578125 × 2 - 1) × π
    0.1009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.317150527886292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51733502} λ = 0.51733502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317150527886292))-π/2
    2×atan(1.37320926265645)-π/2
    2×0.941380013989794-π/2
    1.88276002797959-1.57079632675     		φ = 0.31196370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51733502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.641113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31196370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.874203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76328 KachelY 58920 0.51733502 0.31196370 29.641113 17.874203
    Oben rechts KachelX + 1 76329 KachelY 58920 0.51738296 0.31196370 29.643860 17.874203
    Unten links KachelX 76328 KachelY + 1 58921 0.51733502 0.31191808 29.641113 17.871590
    Unten rechts KachelX + 1 76329 KachelY + 1 58921 0.51738296 0.31191808 29.643860 17.871590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31196370-0.31191808) × R
    4.5620000000024e-05 × 6371000     		dl = 290.645020000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31196370-0.31191808) × R
    4.5620000000024e-05 × 6371000     		dr = 290.645020000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51733502-0.51738296) × cos(0.31196370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951732690471754 × 6371000     		do = 290.683661269336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51733502-0.51738296) × cos(0.31191808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951746691543335 × 6371000     		du = 290.687937556984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31196370)-sin(0.31191808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951732690471754-0.951746691543335)×R²
    abs(0.51738296-0.51733502)×1.40010715816707e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40010715816707e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40010715816707e-05×40589641000000     		ar = 84486.3799988837m²