Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76327 / 58919
↖ ↑ ↗
← N 17.876817°
E 29.638366°		 ← 290.68 m → N 17.876817°
E 29.641113°		 →
↑
290.65 m
↓
↑
290.65 m
↓
N 17.874203°
E 29.638366°		 ← 290.68 m →
84 485 m²		 N 17.874203°
E 29.641113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582332611083984 y=0.449520111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582332611083984 × 217)
    floor (0.582332611083984 × 131072)
    floor (76327.5)     		tx = 76327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449520111083984 × 217)
    floor (0.449520111083984 × 131072)
    floor (58919.5)     		ty = 58919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76327 / 58919 ti = "17/76327/58919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76327/58919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76327 ÷ 217
    76327 ÷ 131072     		x = 0.582328796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58919 ÷ 217
    58919 ÷ 131072     		y = 0.449516296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582328796386719 × 2 - 1) × π
    0.164657592773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51728708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.449516296386719 × 2 - 1) × π
    0.100967407226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.317198464785912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51728708} λ = 0.51728708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317198464785912))-π/2
    2×atan(1.37327509162884)-π/2
    2×0.941402825379187-π/2
    1.88280565075837-1.57079632675     		φ = 0.31200932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51728708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.638366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31200932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.876817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76327 KachelY 58919 0.51728708 0.31200932 29.638366 17.876817
    Oben rechts KachelX + 1 76328 KachelY 58919 0.51733502 0.31200932 29.641113 17.876817
    Unten links KachelX 76327 KachelY + 1 58920 0.51728708 0.31196370 29.638366 17.874203
    Unten rechts KachelX + 1 76328 KachelY + 1 58920 0.51733502 0.31196370 29.641113 17.874203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31200932-0.31196370) × R
    4.56199999999685e-05 × 6371000     		dl = 290.645019999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31200932-0.31196370) × R
    4.56199999999685e-05 × 6371000     		dr = 290.645019999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51728708-0.51733502) × cos(0.31200932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951718687419441 × 6371000     		do = 290.679384376721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51728708-0.51733502) × cos(0.31196370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.951732690471754 × 6371000     		du = 290.683661269336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31200932)-sin(0.31196370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951718687419441-0.951732690471754)×R²
    abs(0.51733502-0.51728708)×1.40030523129164e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.40030523129164e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.40030523129164e-05×40589641000000     		ar = 84485.1370291063m²