Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76327 / 58589
↖ ↑ ↗
← N 18.737305°
E 29.638366°		 ← 289.24 m → N 18.737305°
E 29.641113°		 →
↑
289.24 m
↓
↑
289.24 m
↓
N 18.734704°
E 29.638366°		 ← 289.24 m →
83 661 m²		 N 18.734704°
E 29.641113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582332611083984 y=0.447002410888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582332611083984 × 217)
    floor (0.582332611083984 × 131072)
    floor (76327.5)     		tx = 76327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447002410888672 × 217)
    floor (0.447002410888672 × 131072)
    floor (58589.5)     		ty = 58589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76327 / 58589 ti = "17/76327/58589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76327/58589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76327 ÷ 217
    76327 ÷ 131072     		x = 0.582328796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58589 ÷ 217
    58589 ÷ 131072     		y = 0.446998596191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582328796386719 × 2 - 1) × π
    0.164657592773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51728708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446998596191406 × 2 - 1) × π
    0.106002807617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.33301764166053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51728708} λ = 0.51728708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.33301764166053))-π/2
    2×atan(1.39517191140194)-π/2
    2×0.948911997998214-π/2
    1.89782399599643-1.57079632675     		φ = 0.32702767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51728708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.638366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32702767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.737305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76327 KachelY 58589 0.51728708 0.32702767 29.638366 18.737305
    Oben rechts KachelX + 1 76328 KachelY 58589 0.51733502 0.32702767 29.641113 18.737305
    Unten links KachelX 76327 KachelY + 1 58590 0.51728708 0.32698227 29.638366 18.734704
    Unten rechts KachelX + 1 76328 KachelY + 1 58590 0.51733502 0.32698227 29.641113 18.734704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32702767-0.32698227) × R
    4.53999999999732e-05 × 6371000     		dl = 289.24339999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32702767-0.32698227) × R
    4.53999999999732e-05 × 6371000     		dr = 289.24339999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51728708-0.51733502) × cos(0.32702767) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947001325906107 × 6371000     		do = 289.238580745664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51728708-0.51733502) × cos(0.32698227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9470159087563 × 6371000     		du = 289.243034723476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32702767)-sin(0.32698227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947001325906107-0.9470159087563)×R²
    abs(0.51733502-0.51728708)×1.45828501932899e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45828501932899e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45828501932899e-05×40589641000000     		ar = 83660.9946622478m²