Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76327 / 58533
↖ ↑ ↗
← N 18.882899°
E 29.638366°		 ← 288.99 m → N 18.882899°
E 29.641113°		 →
↑
288.92 m
↓
↑
288.92 m
↓
N 18.880301°
E 29.638366°		 ← 288.99 m →
83 497 m²		 N 18.880301°
E 29.641113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582332611083984 y=0.446575164794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582332611083984 × 217)
    floor (0.582332611083984 × 131072)
    floor (76327.5)     		tx = 76327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446575164794922 × 217)
    floor (0.446575164794922 × 131072)
    floor (58533.5)     		ty = 58533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76327 / 58533 ti = "17/76327/58533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76327/58533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76327 ÷ 217
    76327 ÷ 131072     		x = 0.582328796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58533 ÷ 217
    58533 ÷ 131072     		y = 0.446571350097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582328796386719 × 2 - 1) × π
    0.164657592773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51728708
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446571350097656 × 2 - 1) × π
    0.106857299804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.335702108039253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51728708} λ = 0.51728708}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335702108039253))-π/2
    2×atan(1.39892223504732)-π/2
    2×0.950182545345913-π/2
    1.90036509069183-1.57079632675     		φ = 0.32956876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51728708} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.638366°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32956876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.882899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76327 KachelY 58533 0.51728708 0.32956876 29.638366 18.882899
    Oben rechts KachelX + 1 76328 KachelY 58533 0.51733502 0.32956876 29.641113 18.882899
    Unten links KachelX 76327 KachelY + 1 58534 0.51728708 0.32952341 29.638366 18.880301
    Unten rechts KachelX + 1 76328 KachelY + 1 58534 0.51733502 0.32952341 29.641113 18.880301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32956876-0.32952341) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dl = 288.924849999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32956876-0.32952341) × R
    4.53499999999996e-05 × 6371000     		dr = 288.924849999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51728708-0.51733502) × cos(0.32956876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94618199587285 × 6371000     		do = 288.988336263953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51728708-0.51733502) × cos(0.32952341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.946196671748349 × 6371000     		du = 288.992818654087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32956876)-sin(0.32952341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94618199587285-0.946196671748349)×R²
    abs(0.51733502-0.51728708)×1.46758754987486e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46758754987486e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46758754987486e-05×40589641000000     		ar = 83496.5592580748m²