Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76326 / 61606
↖ ↑ ↗
← N 10.730779°
E 29.635620°		 ← 300.02 m → N 10.730779°
E 29.638366°		 →
↑
300.07 m
↓
↑
300.07 m
↓
N 10.728080°
E 29.635620°		 ← 300.02 m →
90 029 m²		 N 10.728080°
E 29.638366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582324981689453 y=0.470020294189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582324981689453 × 217)
    floor (0.582324981689453 × 131072)
    floor (76326.5)     		tx = 76326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470020294189453 × 217)
    floor (0.470020294189453 × 131072)
    floor (61606.5)     		ty = 61606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76326 / 61606 ti = "17/76326/61606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76326/61606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76326 ÷ 217
    76326 ÷ 131072     		x = 0.582321166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61606 ÷ 217
    61606 ÷ 131072     		y = 0.470016479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582321166992188 × 2 - 1) × π
    0.164642333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51723915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470016479492188 × 2 - 1) × π
    0.059967041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.188392015506821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51723915} λ = 0.51723915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.188392015506821))-π/2
    2×atan(1.20730670554466)-π/2
    2×0.87904187091973-π/2
    1.75808374183946-1.57079632675     		φ = 0.18728742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51723915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.635620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18728742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.730779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76326 KachelY 61606 0.51723915 0.18728742 29.635620 10.730779
    Oben rechts KachelX + 1 76327 KachelY 61606 0.51728708 0.18728742 29.638366 10.730779
    Unten links KachelX 76326 KachelY + 1 61607 0.51723915 0.18724032 29.635620 10.728080
    Unten rechts KachelX + 1 76327 KachelY + 1 61607 0.51728708 0.18724032 29.638366 10.728080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18728742-0.18724032) × R
    4.71000000000221e-05 × 6371000     		dl = 300.074100000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18728742-0.18724032) × R
    4.71000000000221e-05 × 6371000     		dr = 300.074100000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51723915-0.51728708) × cos(0.18728742) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.982512916514672 × 6371000     		do = 300.022138688324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51723915-0.51728708) × cos(0.18724032) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.982521685182908 × 6371000     		du = 300.024816306657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18728742)-sin(0.18724032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982512916514672-0.982521685182908)×R²
    abs(0.51728708-0.51723915)×8.76866823606992e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.76866823606992e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.76866823606992e-06×40589641000000     		ar = 90029.2750056498m²