Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76326 / 58662
↖ ↑ ↗
← N 18.547325°
E 29.635620°		 ← 289.50 m → N 18.547325°
E 29.638366°		 →
↑
289.56 m
↓
↑
289.56 m
↓
N 18.544720°
E 29.635620°		 ← 289.51 m →
83 829 m²		 N 18.544720°
E 29.638366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582324981689453 y=0.447559356689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582324981689453 × 217)
    floor (0.582324981689453 × 131072)
    floor (76326.5)     		tx = 76326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447559356689453 × 217)
    floor (0.447559356689453 × 131072)
    floor (58662.5)     		ty = 58662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76326 / 58662 ti = "17/76326/58662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76326/58662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76326 ÷ 217
    76326 ÷ 131072     		x = 0.582321166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58662 ÷ 217
    58662 ÷ 131072     		y = 0.447555541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582321166992188 × 2 - 1) × π
    0.164642333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51723915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447555541992188 × 2 - 1) × π
    0.104888916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.329518247988266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51723915} λ = 0.51723915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329518247988266))-π/2
    2×atan(1.39029818815514)-π/2
    2×0.947254104157281-π/2
    1.89450820831456-1.57079632675     		φ = 0.32371188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51723915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.635620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32371188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.547325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76326 KachelY 58662 0.51723915 0.32371188 29.635620 18.547325
    Oben rechts KachelX + 1 76327 KachelY 58662 0.51728708 0.32371188 29.638366 18.547325
    Unten links KachelX 76326 KachelY + 1 58663 0.51723915 0.32366643 29.635620 18.544720
    Unten rechts KachelX + 1 76327 KachelY + 1 58663 0.51728708 0.32366643 29.638366 18.544720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32371188-0.32366643) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dl = 289.561950000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32371188-0.32366643) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dr = 289.561950000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51723915-0.51728708) × cos(0.32371188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.948061248138199 × 6371000     		do = 289.501907295991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51723915-0.51728708) × cos(0.32366643) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.948075704251018 × 6371000     		du = 289.506321643948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32371188)-sin(0.32366643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948061248138199-0.948075704251018)×R²
    abs(0.51728708-0.51723915)×1.44561128183618e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44561128183618e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44561128183618e-05×40589641000000     		ar = 83829.3759334063m²