Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76325 / 58574
↖ ↑ ↗
← N 18.776316°
E 29.632874°		 ← 289.17 m → N 18.776316°
E 29.635620°		 →
↑
289.18 m
↓
↑
289.18 m
↓
N 18.773716°
E 29.632874°		 ← 289.18 m →
83 623 m²		 N 18.773716°
E 29.635620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582317352294922 y=0.446887969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582317352294922 × 217)
    floor (0.582317352294922 × 131072)
    floor (76325.5)     		tx = 76325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446887969970703 × 217)
    floor (0.446887969970703 × 131072)
    floor (58574.5)     		ty = 58574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76325 / 58574 ti = "17/76325/58574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76325/58574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76325 ÷ 217
    76325 ÷ 131072     		x = 0.582313537597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58574 ÷ 217
    58574 ÷ 131072     		y = 0.446884155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582313537597656 × 2 - 1) × π
    0.164627075195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.51719121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446884155273438 × 2 - 1) × π
    0.106231689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.333736695154831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51719121} λ = 0.51719121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.333736695154831))-π/2
    2×atan(1.39617547540484)-π/2
    2×0.949252430959911-π/2
    1.89850486191982-1.57079632675     		φ = 0.32770854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51719121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.632874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32770854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.776316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76325 KachelY 58574 0.51719121 0.32770854 29.632874 18.776316
    Oben rechts KachelX + 1 76326 KachelY 58574 0.51723915 0.32770854 29.635620 18.776316
    Unten links KachelX 76325 KachelY + 1 58575 0.51719121 0.32766315 29.632874 18.773716
    Unten rechts KachelX + 1 76326 KachelY + 1 58575 0.51723915 0.32766315 29.635620 18.773716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32770854-0.32766315) × R
    4.53899999999785e-05 × 6371000     		dl = 289.179689999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32770854-0.32766315) × R
    4.53899999999785e-05 × 6371000     		dr = 289.179689999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51719121-0.51723915) × cos(0.32770854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.946782390783174 × 6371000     		do = 289.17171232373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51719121-0.51723915) × cos(0.32766315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.946796999685126 × 6371000     		du = 289.17617425842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32770854)-sin(0.32766315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946782390783174-0.946796999685126)×R²
    abs(0.51723915-0.51719121)×1.46089019520401e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46089019520401e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46089019520401e-05×40589641000000     		ar = 83623.2312912538m²