Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76324 / 58660
↖ ↑ ↗
← N 18.552532°
E 29.630127°		 ← 289.55 m → N 18.552532°
E 29.632874°		 →
↑
289.50 m
↓
↑
289.50 m
↓
N 18.549929°
E 29.630127°		 ← 289.56 m →
83 826 m²		 N 18.549929°
E 29.632874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582309722900391 y=0.447544097900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582309722900391 × 217)
    floor (0.582309722900391 × 131072)
    floor (76324.5)     		tx = 76324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447544097900391 × 217)
    floor (0.447544097900391 × 131072)
    floor (58660.5)     		ty = 58660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76324 / 58660 ti = "17/76324/58660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76324/58660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76324 ÷ 217
    76324 ÷ 131072     		x = 0.582305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58660 ÷ 217
    58660 ÷ 131072     		y = 0.447540283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582305908203125 × 2 - 1) × π
    0.16461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51714327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447540283203125 × 2 - 1) × π
    0.10491943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.329614121787506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51714327} λ = 0.51714327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329614121787506))-π/2
    2×atan(1.39043148771438)-π/2
    2×0.947299550581104-π/2
    1.89459910116221-1.57079632675     		φ = 0.32380277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51714327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.630127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32380277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.552532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76324 KachelY 58660 0.51714327 0.32380277 29.630127 18.552532
    Oben rechts KachelX + 1 76325 KachelY 58660 0.51719121 0.32380277 29.632874 18.552532
    Unten links KachelX 76324 KachelY + 1 58661 0.51714327 0.32375733 29.630127 18.549929
    Unten rechts KachelX + 1 76325 KachelY + 1 58661 0.51719121 0.32375733 29.632874 18.549929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32380277-0.32375733) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dl = 289.498240000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32380277-0.32375733) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dr = 289.498240000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51714327-0.51719121) × cos(0.32380277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948032333219095 × 6371000     		do = 289.553476917179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51714327-0.51719121) × cos(0.32375733) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948046790066969 × 6371000     		du = 289.557892410639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32380277)-sin(0.32375733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948032333219095-0.948046790066969)×R²
    abs(0.51719121-0.51714327)×1.44568478734897e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44568478734897e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44568478734897e-05×40589641000000     		ar = 83825.8611066954m²