Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76323 / 58872
↖ ↑ ↗
← N 17.999632°
E 29.627381°		 ← 290.42 m → N 17.999632°
E 29.630127°		 →
↑
290.52 m
↓
↑
290.52 m
↓
N 17.997019°
E 29.627381°		 ← 290.42 m →
84 372 m²		 N 17.997019°
E 29.630127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582302093505859 y=0.449161529541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582302093505859 × 217)
    floor (0.582302093505859 × 131072)
    floor (76323.5)     		tx = 76323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449161529541016 × 217)
    floor (0.449161529541016 × 131072)
    floor (58872.5)     		ty = 58872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76323 / 58872 ti = "17/76323/58872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76323/58872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76323 ÷ 217
    76323 ÷ 131072     		x = 0.582298278808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58872 ÷ 217
    58872 ÷ 131072     		y = 0.44915771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582298278808594 × 2 - 1) × π
    0.164596557617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.51709534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44915771484375 × 2 - 1) × π
    0.1016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.319451499068054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51709534} λ = 0.51709534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319451499068054))-π/2
    2×atan(1.37637261559264)-π/2
    2×0.942474581306245-π/2
    1.88494916261249-1.57079632675     		φ = 0.31415284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51709534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.627381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31415284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.999632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76323 KachelY 58872 0.51709534 0.31415284 29.627381 17.999632
    Oben rechts KachelX + 1 76324 KachelY 58872 0.51714327 0.31415284 29.630127 17.999632
    Unten links KachelX 76323 KachelY + 1 58873 0.51709534 0.31410724 29.627381 17.997019
    Unten rechts KachelX + 1 76324 KachelY + 1 58873 0.51714327 0.31410724 29.630127 17.997019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31415284-0.31410724) × R
    4.5599999999979e-05 × 6371000     		dl = 290.517599999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31415284-0.31410724) × R
    4.5599999999979e-05 × 6371000     		dr = 290.517599999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51709534-0.51714327) × cos(0.31415284) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.951058501820641 × 6371000     		do = 290.417154764887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51709534-0.51714327) × cos(0.31410724) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.951072591728127 × 6371000     		du = 290.42145728764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31415284)-sin(0.31410724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951058501820641-0.951072591728127)×R²
    abs(0.51714327-0.51709534)×1.40899074856371e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.40899074856371e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.40899074856371e-05×40589641000000     		ar = 84371.9197949533m²