Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76321 / 58655
↖ ↑ ↗
← N 18.565551°
E 29.621887°		 ← 289.53 m → N 18.565551°
E 29.624634°		 →
↑
289.50 m
↓
↑
289.50 m
↓
N 18.562947°
E 29.621887°		 ← 289.54 m →
83 819 m²		 N 18.562947°
E 29.624634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582286834716797 y=0.447505950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582286834716797 × 217)
    floor (0.582286834716797 × 131072)
    floor (76321.5)     		tx = 76321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447505950927734 × 217)
    floor (0.447505950927734 × 131072)
    floor (58655.5)     		ty = 58655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76321 / 58655 ti = "17/76321/58655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76321/58655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76321 ÷ 217
    76321 ÷ 131072     		x = 0.582283020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58655 ÷ 217
    58655 ÷ 131072     		y = 0.447502136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582283020019531 × 2 - 1) × π
    0.164566040039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.51699946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447502136230469 × 2 - 1) × π
    0.104995727539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.329853806285606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51699946} λ = 0.51699946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329853806285606))-π/2
    2×atan(1.39076479253006)-π/2
    2×0.947413160574863-π/2
    1.89482632114973-1.57079632675     		φ = 0.32402999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51699946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.621887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32402999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.565551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76321 KachelY 58655 0.51699946 0.32402999 29.621887 18.565551
    Oben rechts KachelX + 1 76322 KachelY 58655 0.51704740 0.32402999 29.624634 18.565551
    Unten links KachelX 76321 KachelY + 1 58656 0.51699946 0.32398455 29.621887 18.562947
    Unten rechts KachelX + 1 76322 KachelY + 1 58656 0.51704740 0.32398455 29.624634 18.562947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32402999-0.32398455) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dl = 289.498240000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32402999-0.32398455) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dr = 289.498240000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51699946-0.51704740) × cos(0.32402999) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.947960013250171 × 6371000     		do = 289.531388537824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51699946-0.51704740) × cos(0.32398455) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.947974479886063 × 6371000     		du = 289.535807020797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32402999)-sin(0.32398455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947960013250171-0.947974479886063)×R²
    abs(0.51704740-0.51699946)×1.44666358917744e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.44666358917744e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.44666358917744e-05×40589641000000     		ar = 83819.4669924267m²