Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76320 / 58658
↖ ↑ ↗
← N 18.557740°
E 29.619141°		 ← 289.48 m → N 18.557740°
E 29.621887°		 →
↑
289.50 m
↓
↑
289.50 m
↓
N 18.555136°
E 29.619141°		 ← 289.49 m →
83 806 m²		 N 18.555136°
E 29.621887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582279205322266 y=0.447528839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582279205322266 × 217)
    floor (0.582279205322266 × 131072)
    floor (76320.5)     		tx = 76320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447528839111328 × 217)
    floor (0.447528839111328 × 131072)
    floor (58658.5)     		ty = 58658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76320 / 58658 ti = "17/76320/58658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76320/58658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76320 ÷ 217
    76320 ÷ 131072     		x = 0.582275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58658 ÷ 217
    58658 ÷ 131072     		y = 0.447525024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582275390625 × 2 - 1) × π
    0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447525024414062 × 2 - 1) × π
    0.104949951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.329709995586746
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51695153} λ = 0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329709995586746))-π/2
    2×atan(1.39056480005417)-π/2
    2×0.947344995618625-π/2
    1.89468999123725-1.57079632675     		φ = 0.32389366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32389366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.557740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76320 KachelY 58658 0.51695153 0.32389366 29.619141 18.557740
    Oben rechts KachelX + 1 76321 KachelY 58658 0.51699946 0.32389366 29.621887 18.557740
    Unten links KachelX 76320 KachelY + 1 58659 0.51695153 0.32384822 29.619141 18.555136
    Unten rechts KachelX + 1 76321 KachelY + 1 58659 0.51699946 0.32384822 29.621887 18.555136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32389366-0.32384822) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dl = 289.498240000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32389366-0.32384822) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dr = 289.498240000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51695153-0.51699946) × cos(0.32389366) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.948003410468303 × 6371000     		do = 289.484245867031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51695153-0.51699946) × cos(0.32384822) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.94801787123156 × 6371000     		du = 289.488661635054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32389366)-sin(0.32384822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948003410468303-0.94801787123156)×R²
    abs(0.51699946-0.51695153)×1.44607632565075e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.44607632565075e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.44607632565075e-05×40589641000000     		ar = 83805.8188791615m²