Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7632 / 5166
↖ ↑ ↗
← N 55.203953°
W 12.304687°		 ← 1 394.24 m → N 55.203953°
W 12.282715°		 →
↑
1 394.42 m
↓
↑
1 394.42 m
↓
N 55.191413°
W 12.304687°		 ← 1 394.68 m →
1 944 460 m²		 N 55.191413°
W 12.282715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465850830078125 y=0.315338134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465850830078125 × 214)
    floor (0.465850830078125 × 16384)
    floor (7632.5)     		tx = 7632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315338134765625 × 214)
    floor (0.315338134765625 × 16384)
    floor (5166.5)     		ty = 5166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7632 / 5166 ti = "14/7632/5166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7632/5166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7632 ÷ 214
    7632 ÷ 16384     		x = 0.4658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5166 ÷ 214
    5166 ÷ 16384     		y = 0.3153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4658203125 × 2 - 1) × π
    -0.068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21475731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3153076171875 × 2 - 1) × π
    0.369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16045646600232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21475731} λ = -0.21475731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16045646600232))-π/2
    2×atan(3.19138970458615)-π/2
    2×1.26714353562133-π/2
    2.53428707124266-1.57079632675     		φ = 0.96349074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21475731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96349074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.203953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7632 KachelY 5166 -0.21475731 0.96349074 -12.304687 55.203953
    Oben rechts KachelX + 1 7633 KachelY 5166 -0.21437382 0.96349074 -12.282715 55.203953
    Unten links KachelX 7632 KachelY + 1 5167 -0.21475731 0.96327187 -12.304687 55.191413
    Unten rechts KachelX + 1 7633 KachelY + 1 5167 -0.21437382 0.96327187 -12.282715 55.191413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96349074-0.96327187) × R
    0.000218869999999982 × 6371000     		dl = 1394.42076999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96349074-0.96327187) × R
    0.000218869999999982 × 6371000     		dr = 1394.42076999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21475731--0.21437382) × cos(0.96349074) × R
    0.000383490000000014 × 0.570656912861616 × 6371000     		do = 1394.23740951929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21475731--0.21437382) × cos(0.96327187) × R
    0.000383490000000014 × 0.570836632736807 × 6371000     		du = 1394.67650377642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96349074)-sin(0.96327187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570656912861616-0.570836632736807)×R²
    abs(-0.21437382--0.21475731)×0.000179719875190498×R²
    0.000383490000000014×0.000179719875190498×6371000²
    0.000383490000000014×0.000179719875190498×40589641000000     		ar = 1944459.75098155m²