Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76319 / 59300
↖ ↑ ↗
← N 16.878147°
E 29.616394°		 ← 292.27 m → N 16.878147°
E 29.619141°		 →
↑
292.30 m
↓
↑
292.30 m
↓
N 16.875518°
E 29.616394°		 ← 292.27 m →
85 431 m²		 N 16.875518°
E 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582271575927734 y=0.452426910400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582271575927734 × 217)
    floor (0.582271575927734 × 131072)
    floor (76319.5)     		tx = 76319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452426910400391 × 217)
    floor (0.452426910400391 × 131072)
    floor (59300.5)     		ty = 59300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76319 / 59300 ti = "17/76319/59300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76319/59300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76319 ÷ 217
    76319 ÷ 131072     		x = 0.582267761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59300 ÷ 217
    59300 ÷ 131072     		y = 0.452423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582267761230469 × 2 - 1) × π
    0.164535522460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51690359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452423095703125 × 2 - 1) × π
    0.09515380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.29893450603067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51690359} λ = 0.51690359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29893450603067))-π/2
    2×atan(1.34842130711712)-π/2
    2×0.932687781740191-π/2
    1.86537556348038-1.57079632675     		φ = 0.29457924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51690359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.616394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29457924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.878147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76319 KachelY 59300 0.51690359 0.29457924 29.616394 16.878147
    Oben rechts KachelX + 1 76320 KachelY 59300 0.51695153 0.29457924 29.619141 16.878147
    Unten links KachelX 76319 KachelY + 1 59301 0.51690359 0.29453336 29.616394 16.875518
    Unten rechts KachelX + 1 76320 KachelY + 1 59301 0.51695153 0.29453336 29.619141 16.875518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29457924-0.29453336) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dl = 292.301479999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29457924-0.29453336) × R
    4.58799999999981e-05 × 6371000     		dr = 292.301479999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51690359-0.51695153) × cos(0.29457924) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.956924389321107 × 6371000     		do = 292.269339732932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51690359-0.51695153) × cos(0.29453336) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.956937708986538 × 6371000     		du = 292.273407901603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29457924)-sin(0.29453336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956924389321107-0.956937708986538)×R²
    abs(0.51695153-0.51690359)×1.33196654310552e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.33196654310552e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.33196654310552e-05×40589641000000     		ar = 85431.3551433701m²