Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76319 / 58659
↖ ↑ ↗
← N 18.555136°
E 29.616394°		 ← 289.55 m → N 18.555136°
E 29.619141°		 →
↑
289.56 m
↓
↑
289.56 m
↓
N 18.552532°
E 29.616394°		 ← 289.55 m →
83 843 m²		 N 18.552532°
E 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582271575927734 y=0.447536468505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582271575927734 × 217)
    floor (0.582271575927734 × 131072)
    floor (76319.5)     		tx = 76319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447536468505859 × 217)
    floor (0.447536468505859 × 131072)
    floor (58659.5)     		ty = 58659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76319 / 58659 ti = "17/76319/58659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76319/58659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76319 ÷ 217
    76319 ÷ 131072     		x = 0.582267761230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58659 ÷ 217
    58659 ÷ 131072     		y = 0.447532653808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582267761230469 × 2 - 1) × π
    0.164535522460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51690359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447532653808594 × 2 - 1) × π
    0.104934692382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.329662058687126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51690359} λ = 0.51690359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.329662058687126))-π/2
    2×atan(1.39049814228663)-π/2
    2×0.947322273273173-π/2
    1.89464454654635-1.57079632675     		φ = 0.32384822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51690359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.616394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32384822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.555136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76319 KachelY 58659 0.51690359 0.32384822 29.616394 18.555136
    Oben rechts KachelX + 1 76320 KachelY 58659 0.51695153 0.32384822 29.619141 18.555136
    Unten links KachelX 76319 KachelY + 1 58660 0.51690359 0.32380277 29.616394 18.552532
    Unten rechts KachelX + 1 76320 KachelY + 1 58660 0.51695153 0.32380277 29.619141 18.552532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32384822-0.32380277) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dl = 289.561950000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32384822-0.32380277) × R
    4.54500000000024e-05 × 6371000     		dr = 289.561950000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51690359-0.51695153) × cos(0.32384822) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.94801787123156 × 6371000     		do = 289.549059854605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51690359-0.51695153) × cos(0.32380277) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.948032333219095 × 6371000     		du = 289.553476917849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32384822)-sin(0.32380277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94801787123156-0.948032333219095)×R²
    abs(0.51695153-0.51690359)×1.44619875352969e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.44619875352969e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.44619875352969e-05×40589641000000     		ar = 83843.0299133213m²