Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76318 / 59298
↖ ↑ ↗
← N 16.883403°
E 29.613647°		 ← 292.26 m → N 16.883403°
E 29.616394°		 →
↑
292.24 m
↓
↑
292.24 m
↓
N 16.880775°
E 29.613647°		 ← 292.27 m →
85 410 m²		 N 16.880775°
E 29.616394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582263946533203 y=0.452411651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582263946533203 × 217)
    floor (0.582263946533203 × 131072)
    floor (76318.5)     		tx = 76318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452411651611328 × 217)
    floor (0.452411651611328 × 131072)
    floor (59298.5)     		ty = 59298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76318 / 59298 ti = "17/76318/59298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76318/59298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76318 ÷ 217
    76318 ÷ 131072     		x = 0.582260131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59298 ÷ 217
    59298 ÷ 131072     		y = 0.452407836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582260131835938 × 2 - 1) × π
    0.164520263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51685565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.452407836914062 × 2 - 1) × π
    0.095184326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.29903037982991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51685565} λ = 0.51685565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.29903037982991))-π/2
    2×atan(1.3485505915882)-π/2
    2×0.932733653090134-π/2
    1.86546730618027-1.57079632675     		φ = 0.29467098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51685565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.613647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29467098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.883403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76318 KachelY 59298 0.51685565 0.29467098 29.613647 16.883403
    Oben rechts KachelX + 1 76319 KachelY 59298 0.51690359 0.29467098 29.616394 16.883403
    Unten links KachelX 76318 KachelY + 1 59299 0.51685565 0.29462511 29.613647 16.880775
    Unten rechts KachelX + 1 76319 KachelY + 1 59299 0.51690359 0.29462511 29.616394 16.880775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29467098-0.29462511) × R
    4.58700000000034e-05 × 6371000     		dl = 292.237770000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29467098-0.29462511) × R
    4.58700000000034e-05 × 6371000     		dr = 292.237770000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51685565-0.51690359) × cos(0.29467098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.95689774975587 × 6371000     		do = 292.26120332333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51685565-0.51690359) × cos(0.29462511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.956911070545186 × 6371000     		du = 292.265271835264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29467098)-sin(0.29462511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95689774975587-0.956911070545186)×R²
    abs(0.51690359-0.51685565)×1.33207893162623e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.33207893162623e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.33207893162623e-05×40589641000000     		ar = 85410.3568181144m²