Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76318 / 58467
↖ ↑ ↗
← N 19.054330°
E 29.613647°		 ← 288.69 m → N 19.054330°
E 29.616394°		 →
↑
288.67 m
↓
↑
288.67 m
↓
N 19.051734°
E 29.613647°		 ← 288.70 m →
83 337 m²		 N 19.051734°
E 29.616394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582263946533203 y=0.446071624755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582263946533203 × 217)
    floor (0.582263946533203 × 131072)
    floor (76318.5)     		tx = 76318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446071624755859 × 217)
    floor (0.446071624755859 × 131072)
    floor (58467.5)     		ty = 58467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76318 / 58467 ti = "17/76318/58467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76318/58467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76318 ÷ 217
    76318 ÷ 131072     		x = 0.582260131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58467 ÷ 217
    58467 ÷ 131072     		y = 0.446067810058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582260131835938 × 2 - 1) × π
    0.164520263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51685565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446067810058594 × 2 - 1) × π
    0.107864379882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.338865943414177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51685565} λ = 0.51685565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.338865943414177))-π/2
    2×atan(1.40335520359491)-π/2
    2×0.951678559109053-π/2
    1.90335711821811-1.57079632675     		φ = 0.33256079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51685565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.613647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33256079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.054330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76318 KachelY 58467 0.51685565 0.33256079 29.613647 19.054330
    Oben rechts KachelX + 1 76319 KachelY 58467 0.51690359 0.33256079 29.616394 19.054330
    Unten links KachelX 76318 KachelY + 1 58468 0.51685565 0.33251548 29.613647 19.051734
    Unten rechts KachelX + 1 76319 KachelY + 1 58468 0.51690359 0.33251548 29.616394 19.051734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33256079-0.33251548) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dl = 288.670010000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33256079-0.33251548) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dr = 288.670010000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51685565-0.51690359) × cos(0.33256079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945209436385205 × 6371000     		do = 288.691291562745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51685565-0.51690359) × cos(0.33251548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945224227525021 × 6371000     		du = 288.695809157568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33256079)-sin(0.33251548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945209436385205-0.945224227525021)×R²
    abs(0.51690359-0.51685565)×1.47911398156175e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47911398156175e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47911398156175e-05×40589641000000     		ar = 83337.1700836142m²