Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76317 / 58651
↖ ↑ ↗
← N 18.575966°
E 29.610901°		 ← 289.51 m → N 18.575966°
E 29.613647°		 →
↑
289.50 m
↓
↑
289.50 m
↓
N 18.573362°
E 29.610901°		 ← 289.52 m →
83 814 m²		 N 18.573362°
E 29.613647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582256317138672 y=0.447475433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582256317138672 × 217)
    floor (0.582256317138672 × 131072)
    floor (76317.5)     		tx = 76317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447475433349609 × 217)
    floor (0.447475433349609 × 131072)
    floor (58651.5)     		ty = 58651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76317 / 58651 ti = "17/76317/58651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76317/58651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76317 ÷ 217
    76317 ÷ 131072     		x = 0.582252502441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58651 ÷ 217
    58651 ÷ 131072     		y = 0.447471618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582252502441406 × 2 - 1) × π
    0.164505004882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51680771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447471618652344 × 2 - 1) × π
    0.105056762695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.330045553884087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51680771} λ = 0.51680771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.330045553884087))-π/2
    2×atan(1.39103149390793)-π/2
    2×0.947504042328015-π/2
    1.89500808465603-1.57079632675     		φ = 0.32421176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51680771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.610901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32421176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.575966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76317 KachelY 58651 0.51680771 0.32421176 29.610901 18.575966
    Oben rechts KachelX + 1 76318 KachelY 58651 0.51685565 0.32421176 29.613647 18.575966
    Unten links KachelX 76317 KachelY + 1 58652 0.51680771 0.32416632 29.610901 18.573362
    Unten rechts KachelX + 1 76318 KachelY + 1 58652 0.51685565 0.32416632 29.613647 18.573362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32421176-0.32416632) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dl = 289.498240000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32421176-0.32416632) × R
    4.54400000000077e-05 × 6371000     		dr = 289.498240000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51680771-0.51685565) × cos(0.32421176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947902123947868 × 6371000     		do = 289.513707654159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51680771-0.51685565) × cos(0.32416632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947916598413378 × 6371000     		du = 289.518128528499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32421176)-sin(0.32416632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947902123947868-0.947916598413378)×R²
    abs(0.51685565-0.51680771)×1.44744655103946e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44744655103946e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44744655103946e-05×40589641000000     		ar = 83814.3487538412m²