Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76314 / 58357
↖ ↑ ↗
← N 19.339654°
E 29.602661°		 ← 288.19 m → N 19.339654°
E 29.605408°		 →
↑
288.16 m
↓
↑
288.16 m
↓
N 19.337062°
E 29.602661°		 ← 288.20 m →
83 046 m²		 N 19.337062°
E 29.605408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582233428955078 y=0.445232391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582233428955078 × 217)
    floor (0.582233428955078 × 131072)
    floor (76314.5)     		tx = 76314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445232391357422 × 217)
    floor (0.445232391357422 × 131072)
    floor (58357.5)     		ty = 58357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76314 / 58357 ti = "17/76314/58357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76314/58357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76314 ÷ 217
    76314 ÷ 131072     		x = 0.582229614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58357 ÷ 217
    58357 ÷ 131072     		y = 0.445228576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582229614257812 × 2 - 1) × π
    0.164459228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51666390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445228576660156 × 2 - 1) × π
    0.109542846679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.344139002372383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51666390} λ = 0.51666390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344139002372383))-π/2
    2×atan(1.41077472291244)-π/2
    2×0.954168477575164-π/2
    1.90833695515033-1.57079632675     		φ = 0.33754063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51666390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.602661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33754063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.339654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76314 KachelY 58357 0.51666390 0.33754063 29.602661 19.339654
    Oben rechts KachelX + 1 76315 KachelY 58357 0.51671184 0.33754063 29.605408 19.339654
    Unten links KachelX 76314 KachelY + 1 58358 0.51666390 0.33749540 29.602661 19.337062
    Unten rechts KachelX + 1 76315 KachelY + 1 58358 0.51671184 0.33749540 29.605408 19.337062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33754063-0.33749540) × R
    4.52300000000072e-05 × 6371000     		dl = 288.160330000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33754063-0.33749540) × R
    4.52300000000072e-05 × 6371000     		dr = 288.160330000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51666390-0.51671184) × cos(0.33754063) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.943571981726611 × 6371000     		do = 288.191170762595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51666390-0.51671184) × cos(0.33749540) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.943586959467627 × 6371000     		du = 288.195745350228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33754063)-sin(0.33749540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943571981726611-0.943586959467627)×R²
    abs(0.51671184-0.51666390)×1.49777410156648e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.49777410156648e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.49777410156648e-05×40589641000000     		ar = 83045.9219915685m²