Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76312 / 58712
↖ ↑ ↗
← N 18.417079°
E 29.597168°		 ← 289.78 m → N 18.417079°
E 29.599915°		 →
↑
289.75 m
↓
↑
289.75 m
↓
N 18.414473°
E 29.597168°		 ← 289.79 m →
83 966 m²		 N 18.414473°
E 29.599915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582218170166016 y=0.447940826416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582218170166016 × 217)
    floor (0.582218170166016 × 131072)
    floor (76312.5)     		tx = 76312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447940826416016 × 217)
    floor (0.447940826416016 × 131072)
    floor (58712.5)     		ty = 58712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76312 / 58712 ti = "17/76312/58712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76312/58712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76312 ÷ 217
    76312 ÷ 131072     		x = 0.58221435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58712 ÷ 217
    58712 ÷ 131072     		y = 0.44793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58221435546875 × 2 - 1) × π
    0.1644287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51656803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44793701171875 × 2 - 1) × π
    0.1041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.327121403007263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51656803} λ = 0.51656803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327121403007263))-π/2
    2×atan(1.38696984927034)-π/2
    2×0.946117493989223-π/2
    1.89223498797845-1.57079632675     		φ = 0.32143866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51656803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.597168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32143866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.417079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76312 KachelY 58712 0.51656803 0.32143866 29.597168 18.417079
    Oben rechts KachelX + 1 76313 KachelY 58712 0.51661597 0.32143866 29.599915 18.417079
    Unten links KachelX 76312 KachelY + 1 58713 0.51656803 0.32139318 29.597168 18.414473
    Unten rechts KachelX + 1 76313 KachelY + 1 58713 0.51661597 0.32139318 29.599915 18.414473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32143866-0.32139318) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dl = 289.753079999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32143866-0.32139318) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dr = 289.753079999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51656803-0.51661597) × cos(0.32143866) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.948781881574137 × 6371000     		do = 289.782408278854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51656803-0.51661597) × cos(0.32139318) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.948796249173955 × 6371000     		du = 289.786796513661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32143866)-sin(0.32139318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948781881574137-0.948796249173955)×R²
    abs(0.51661597-0.51656803)×1.43675998175441e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.43675998175441e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.43675998175441e-05×40589641000000     		ar = 83965.9810953699m²