Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76311 / 58633
↖ ↑ ↗
← N 18.622822°
E 29.594421°		 ← 289.43 m → N 18.622822°
E 29.597168°		 →
↑
289.43 m
↓
↑
289.43 m
↓
N 18.620219°
E 29.594421°		 ← 289.44 m →
83 773 m²		 N 18.620219°
E 29.597168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582210540771484 y=0.447338104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582210540771484 × 217)
    floor (0.582210540771484 × 131072)
    floor (76311.5)     		tx = 76311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447338104248047 × 217)
    floor (0.447338104248047 × 131072)
    floor (58633.5)     		ty = 58633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76311 / 58633 ti = "17/76311/58633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76311/58633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76311 ÷ 217
    76311 ÷ 131072     		x = 0.582206726074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58633 ÷ 217
    58633 ÷ 131072     		y = 0.447334289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582206726074219 × 2 - 1) × π
    0.164413452148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.51652009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447334289550781 × 2 - 1) × π
    0.105331420898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.330908418077248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51652009} λ = 0.51652009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.330908418077248))-π/2
    2×atan(1.39223228316011)-π/2
    2×0.947912941482657-π/2
    1.89582588296531-1.57079632675     		φ = 0.32502956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51652009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.594421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32502956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.622822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76311 KachelY 58633 0.51652009 0.32502956 29.594421 18.622822
    Oben rechts KachelX + 1 76312 KachelY 58633 0.51656803 0.32502956 29.597168 18.622822
    Unten links KachelX 76311 KachelY + 1 58634 0.51652009 0.32498413 29.594421 18.620219
    Unten rechts KachelX + 1 76312 KachelY + 1 58634 0.51656803 0.32498413 29.597168 18.620219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32502956-0.32498413) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dl = 289.434530000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32502956-0.32498413) × R
    4.5430000000013e-05 × 6371000     		dr = 289.434530000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51652009-0.51656803) × cos(0.32502956) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947641287233082 × 6371000     		do = 289.434041407527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51652009-0.51656803) × cos(0.32498413) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.947655793725911 × 6371000     		du = 289.438472063834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32502956)-sin(0.32498413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947641287233082-0.947655793725911)×R²
    abs(0.51656803-0.51652009)×1.45064928293026e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45064928293026e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45064928293026e-05×40589641000000     		ar = 83772.8469476818m²