Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76310 / 59315
N 16.838719°
E 29.591675°
← 292.27 m → N 16.838719°
E 29.594421°

292.37 m

292.37 m
N 16.836090°
E 29.591675°
← 292.27 m →
85 450 m²
N 16.836090°
E 29.594421°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582202911376953 y=0.452541351318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582202911376953 × 217)
    floor (0.582202911376953 × 131072)
    floor (76310.5)
    tx = 76310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452541351318359 × 217)
    floor (0.452541351318359 × 131072)
    floor (59315.5)
    ty = 59315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76310 / 59315 ti = "17/76310/59315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76310/59315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76310 ÷ 217
    76310 ÷ 131072
    x = 0.582199096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59315 ÷ 217
    59315 ÷ 131072
    y = 0.452537536621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.582199096679688 × 2 - 1) × π
    0.164398193359375 × 3.1415926535
    Λ = 0.51647216
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.452537536621094 × 2 - 1) × π
    0.0949249267578125 × 3.1415926535
    Φ = 0.298215452536369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51647216} λ = 0.51647216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.298215452536369))-π/2
    2×atan(1.34745206857339)-π/2
    2×0.932343705939276-π/2
    1.86468741187855-1.57079632675
    φ = 0.29389109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51647216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.591675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29389109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.838719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76310 KachelY 59315 0.51647216 0.29389109 29.591675 16.838719
    Oben rechts KachelX + 1 76311 KachelY 59315 0.51652009 0.29389109 29.594421 16.838719
    Unten links KachelX 76310 KachelY + 1 59316 0.51647216 0.29384520 29.591675 16.836090
    Unten rechts KachelX + 1 76311 KachelY + 1 59316 0.51652009 0.29384520 29.594421 16.836090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.29389109-0.29384520) × R
    4.58900000000484e-05 × 6371000
    dl = 292.365190000308m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.29389109-0.29384520) × R
    4.58900000000484e-05 × 6371000
    dr = 292.365190000308m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.51647216-0.51652009) × cos(0.29389109) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957123958301306 × 6371000
    do = 292.269314868701m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.51647216-0.51652009) × cos(0.29384520) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.957137250647398 × 6371000
    du = 292.273373846487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.29389109)-sin(0.29384520))×
    abs(λ12)×abs(0.957123958301306-0.957137250647398)×
    abs(0.51652009-0.51647216)×1.329234609182e-05×
    4.79300000000293e-05×1.329234609182e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.329234609182e-05×40589641000000
    ar = 85449.9671398021m²