Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7631 / 5142
↖ ↑ ↗
← N 55.503750°
W 12.326660°		 ← 1 383.76 m → N 55.503750°
W 12.304687°		 →
↑
1 383.97 m
↓
↑
1 383.97 m
↓
N 55.491303°
W 12.326660°		 ← 1 384.19 m →
1 915 383 m²		 N 55.491303°
W 12.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465789794921875 y=0.313873291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465789794921875 × 214)
    floor (0.465789794921875 × 16384)
    floor (7631.5)     		tx = 7631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313873291015625 × 214)
    floor (0.313873291015625 × 16384)
    floor (5142.5)     		ty = 5142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7631 / 5142 ti = "14/7631/5142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7631/5142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7631 ÷ 214
    7631 ÷ 16384     		x = 0.46575927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5142 ÷ 214
    5142 ÷ 16384     		y = 0.3138427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46575927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0684814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21514081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3138427734375 × 2 - 1) × π
    0.372314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16966035072937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21514081} λ = -0.21514081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16966035072937))-π/2
    2×atan(3.22089847690497)-π/2
    2×1.26975975451183-π/2
    2.53951950902365-1.57079632675     		φ = 0.96872318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21514081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.326660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96872318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.503750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7631 KachelY 5142 -0.21514081 0.96872318 -12.326660 55.503750
    Oben rechts KachelX + 1 7632 KachelY 5142 -0.21475731 0.96872318 -12.304687 55.503750
    Unten links KachelX 7631 KachelY + 1 5143 -0.21514081 0.96850595 -12.326660 55.491303
    Unten rechts KachelX + 1 7632 KachelY + 1 5143 -0.21475731 0.96850595 -12.304687 55.491303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96872318-0.96850595) × R
    0.000217230000000068 × 6371000     		dl = 1383.97233000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96872318-0.96850595) × R
    0.000217230000000068 × 6371000     		dr = 1383.97233000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21514081--0.21475731) × cos(0.96872318) × R
    0.000383499999999981 × 0.566352300655508 × 6371000     		do = 1383.75639961707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21514081--0.21475731) × cos(0.96850595) × R
    0.000383499999999981 × 0.566531320275306 × 6371000     		du = 1384.1937944052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96872318)-sin(0.96850595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566352300655508-0.566531320275306)×R²
    abs(-0.21475731--0.21514081)×0.000179019619798049×R²
    0.000383499999999981×0.000179019619798049×6371000²
    0.000383499999999981×0.000179019619798049×40589641000000     		ar = 1915383.24720536m²