Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76308 / 58708
↖ ↑ ↗
← N 18.427502°
E 29.586181°		 ← 289.76 m → N 18.427502°
E 29.588928°		 →
↑
289.75 m
↓
↑
289.75 m
↓
N 18.424896°
E 29.586181°		 ← 289.77 m →
83 961 m²		 N 18.424896°
E 29.588928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582187652587891 y=0.447910308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582187652587891 × 217)
    floor (0.582187652587891 × 131072)
    floor (76308.5)     		tx = 76308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447910308837891 × 217)
    floor (0.447910308837891 × 131072)
    floor (58708.5)     		ty = 58708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76308 / 58708 ti = "17/76308/58708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76308/58708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76308 ÷ 217
    76308 ÷ 131072     		x = 0.582183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58708 ÷ 217
    58708 ÷ 131072     		y = 0.447906494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582183837890625 × 2 - 1) × π
    0.16436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51637628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447906494140625 × 2 - 1) × π
    0.10418701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.327313150605743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51637628} λ = 0.51637628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327313150605743))-π/2
    2×atan(1.38723582290719)-π/2
    2×0.946208454557136-π/2
    1.89241690911427-1.57079632675     		φ = 0.32162058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51637628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.586181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32162058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.427502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76308 KachelY 58708 0.51637628 0.32162058 29.586181 18.427502
    Oben rechts KachelX + 1 76309 KachelY 58708 0.51642422 0.32162058 29.588928 18.427502
    Unten links KachelX 76308 KachelY + 1 58709 0.51637628 0.32157510 29.586181 18.424896
    Unten rechts KachelX + 1 76309 KachelY + 1 58709 0.51642422 0.32157510 29.588928 18.424896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32162058-0.32157510) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dl = 289.753079999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32162058-0.32157510) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dr = 289.753079999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51637628-0.51642422) × cos(0.32162058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948724391550271 × 6371000     		do = 289.764849345101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51637628-0.51642422) × cos(0.32157510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948738766999867 × 6371000     		du = 289.769239977432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32162058)-sin(0.32157510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948724391550271-0.948738766999867)×R²
    abs(0.51642422-0.51637628)×1.4375449596371e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4375449596371e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4375449596371e-05×40589641000000     		ar = 83960.8936876331m²