Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76308 / 58509
↖ ↑ ↗
← N 18.945258°
E 29.586181°		 ← 288.88 m → N 18.945258°
E 29.588928°		 →
↑
288.86 m
↓
↑
288.86 m
↓
N 18.942660°
E 29.586181°		 ← 288.89 m →
83 447 m²		 N 18.942660°
E 29.588928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582187652587891 y=0.446392059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582187652587891 × 217)
    floor (0.582187652587891 × 131072)
    floor (76308.5)     		tx = 76308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446392059326172 × 217)
    floor (0.446392059326172 × 131072)
    floor (58509.5)     		ty = 58509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76308 / 58509 ti = "17/76308/58509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76308/58509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76308 ÷ 217
    76308 ÷ 131072     		x = 0.582183837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58509 ÷ 217
    58509 ÷ 131072     		y = 0.446388244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582183837890625 × 2 - 1) × π
    0.16436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51637628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446388244628906 × 2 - 1) × π
    0.107223510742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.336852593630135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51637628} λ = 0.51637628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.336852593630135))-π/2
    2×atan(1.40053260109535)-π/2
    2×0.950726728297894-π/2
    1.90145345659579-1.57079632675     		φ = 0.33065713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51637628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.586181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33065713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.945258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76308 KachelY 58509 0.51637628 0.33065713 29.586181 18.945258
    Oben rechts KachelX + 1 76309 KachelY 58509 0.51642422 0.33065713 29.588928 18.945258
    Unten links KachelX 76308 KachelY + 1 58510 0.51637628 0.33061179 29.586181 18.942660
    Unten rechts KachelX + 1 76309 KachelY + 1 58510 0.51642422 0.33061179 29.588928 18.942660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33065713-0.33061179) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dl = 288.861140000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33065713-0.33061179) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dr = 288.861140000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51637628-0.51642422) × cos(0.33065713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945829200888545 × 6371000     		do = 288.880583594803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51637628-0.51642422) × cos(0.33061179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94584392021074 × 6371000     		du = 288.885079254677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33065713)-sin(0.33061179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945829200888545-0.94584392021074)×R²
    abs(0.51642422-0.51637628)×1.47193221952113e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47193221952113e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47193221952113e-05×40589641000000     		ar = 83447.0240260263m²