Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76306 / 58761
↖ ↑ ↗
← N 18.289342°
E 29.580689°		 ← 290 m → N 18.289342°
E 29.583435°		 →
↑
289.94 m
↓
↑
289.94 m
↓
N 18.286734°
E 29.580689°		 ← 290 m →
84 084 m²		 N 18.286734°
E 29.583435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582172393798828 y=0.448314666748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582172393798828 × 217)
    floor (0.582172393798828 × 131072)
    floor (76306.5)     		tx = 76306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448314666748047 × 217)
    floor (0.448314666748047 × 131072)
    floor (58761.5)     		ty = 58761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76306 / 58761 ti = "17/76306/58761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76306/58761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76306 ÷ 217
    76306 ÷ 131072     		x = 0.582168579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58761 ÷ 217
    58761 ÷ 131072     		y = 0.448310852050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582168579101562 × 2 - 1) × π
    0.164337158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51628041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448310852050781 × 2 - 1) × π
    0.103378295898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.32477249492588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51628041} λ = 0.51628041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.32477249492588))-π/2
    2×atan(1.38371580780105)-π/2
    2×0.945002780637625-π/2
    1.89000556127525-1.57079632675     		φ = 0.31920923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51628041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.580689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31920923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.289342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76306 KachelY 58761 0.51628041 0.31920923 29.580689 18.289342
    Oben rechts KachelX + 1 76307 KachelY 58761 0.51632835 0.31920923 29.583435 18.289342
    Unten links KachelX 76306 KachelY + 1 58762 0.51628041 0.31916372 29.580689 18.286734
    Unten rechts KachelX + 1 76307 KachelY + 1 58762 0.51632835 0.31916372 29.583435 18.286734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31920923-0.31916372) × R
    4.55100000000264e-05 × 6371000     		dl = 289.944210000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31920923-0.31916372) × R
    4.55100000000264e-05 × 6371000     		dr = 289.944210000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51628041-0.51632835) × cos(0.31920923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949483871069057 × 6371000     		do = 289.996813939141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51628041-0.51632835) × cos(0.31916372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949498151844457 × 6371000     		du = 290.001175655535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31920923)-sin(0.31916372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949483871069057-0.949498151844457)×R²
    abs(0.51632835-0.51628041)×1.42807753998886e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42807753998886e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42807753998886e-05×40589641000000     		ar = 84083.5294618601m²