Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76304 / 58760
↖ ↑ ↗
← N 18.291950°
E 29.575196°		 ← 289.93 m → N 18.291950°
E 29.577942°		 →
↑
290.01 m
↓
↑
290.01 m
↓
N 18.289342°
E 29.575196°		 ← 289.94 m →
84 083 m²		 N 18.289342°
E 29.577942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582157135009766 y=0.448307037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582157135009766 × 217)
    floor (0.582157135009766 × 131072)
    floor (76304.5)     		tx = 76304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448307037353516 × 217)
    floor (0.448307037353516 × 131072)
    floor (58760.5)     		ty = 58760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76304 / 58760 ti = "17/76304/58760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76304/58760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76304 ÷ 217
    76304 ÷ 131072     		x = 0.5821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58760 ÷ 217
    58760 ÷ 131072     		y = 0.44830322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44830322265625 × 2 - 1) × π
    0.1033935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.3248204318255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51618454} λ = 0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3248204318255))-π/2
    2×atan(1.38378214043671)-π/2
    2×0.945025538122917-π/2
    1.89005107624583-1.57079632675     		φ = 0.31925475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31925475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.291950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76304 KachelY 58760 0.51618454 0.31925475 29.575196 18.291950
    Oben rechts KachelX + 1 76305 KachelY 58760 0.51623247 0.31925475 29.577942 18.291950
    Unten links KachelX 76304 KachelY + 1 58761 0.51618454 0.31920923 29.575196 18.289342
    Unten rechts KachelX + 1 76305 KachelY + 1 58761 0.51623247 0.31920923 29.577942 18.289342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31925475-0.31920923) × R
    4.55199999999656e-05 × 6371000     		dl = 290.007919999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31925475-0.31920923) × R
    4.55199999999656e-05 × 6371000     		dr = 290.007919999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51618454-0.51623247) × cos(0.31925475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.949469585188533 × 6371000     		do = 289.931959956606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51618454-0.51623247) × cos(0.31920923) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.949483871069057 × 6371000     		du = 289.936322322083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31925475)-sin(0.31920923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949469585188533-0.949483871069057)×R²
    abs(0.51623247-0.51618454)×1.42858805234347e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.42858805234347e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.42858805234347e-05×40589641000000     		ar = 84083.1972232013m²