Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76304 / 58704
↖ ↑ ↗
← N 18.437925°
E 29.575196°		 ← 289.69 m → N 18.437925°
E 29.577942°		 →
↑
289.69 m
↓
↑
289.69 m
↓
N 18.435319°
E 29.575196°		 ← 289.69 m →
83 920 m²		 N 18.435319°
E 29.577942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582157135009766 y=0.447879791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582157135009766 × 217)
    floor (0.582157135009766 × 131072)
    floor (76304.5)     		tx = 76304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447879791259766 × 217)
    floor (0.447879791259766 × 131072)
    floor (58704.5)     		ty = 58704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76304 / 58704 ti = "17/76304/58704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76304/58704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76304 ÷ 217
    76304 ÷ 131072     		x = 0.5821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58704 ÷ 217
    58704 ÷ 131072     		y = 0.4478759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5821533203125 × 2 - 1) × π
    0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4478759765625 × 2 - 1) × π
    0.104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.327504898204224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51618454} λ = 0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327504898204224))-π/2
    2×atan(1.38750184754874)-π/2
    2×0.94629940961189-π/2
    1.89259881922378-1.57079632675     		φ = 0.32180249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32180249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.437925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76304 KachelY 58704 0.51618454 0.32180249 29.575196 18.437925
    Oben rechts KachelX + 1 76305 KachelY 58704 0.51623247 0.32180249 29.577942 18.437925
    Unten links KachelX 76304 KachelY + 1 58705 0.51618454 0.32175702 29.575196 18.435319
    Unten rechts KachelX + 1 76305 KachelY + 1 58705 0.51623247 0.32175702 29.577942 18.435319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32180249-0.32175702) × R
    4.54699999999919e-05 × 6371000     		dl = 289.689369999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32180249-0.32175702) × R
    4.54699999999919e-05 × 6371000     		dr = 289.689369999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51618454-0.51623247) × cos(0.32180249) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.94866687329125 × 6371000     		do = 289.686842222146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51618454-0.51623247) × cos(0.32175702) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.948681253427379 × 6371000     		du = 289.691233369706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32180249)-sin(0.32175702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94866687329125-0.948681253427379)×R²
    abs(0.51623247-0.51618454)×1.43801361289775e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.43801361289775e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.43801361289775e-05×40589641000000     		ar = 83919.8348693838m²