Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76303 / 58736
↖ ↑ ↗
← N 18.354525°
E 29.572449°		 ← 289.89 m → N 18.354525°
E 29.575196°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
N 18.351918°
E 29.572449°		 ← 289.89 m →
84 033 m²		 N 18.351918°
E 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582149505615234 y=0.448123931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582149505615234 × 217)
    floor (0.582149505615234 × 131072)
    floor (76303.5)     		tx = 76303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448123931884766 × 217)
    floor (0.448123931884766 × 131072)
    floor (58736.5)     		ty = 58736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76303 / 58736 ti = "17/76303/58736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76303/58736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76303 ÷ 217
    76303 ÷ 131072     		x = 0.582145690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58736 ÷ 217
    58736 ÷ 131072     		y = 0.4481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582145690917969 × 2 - 1) × π
    0.164291381835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51613660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4481201171875 × 2 - 1) × π
    0.103759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.325970917416382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51613660} λ = 0.51613660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325970917416382))-π/2
    2×atan(1.38537507800036)-π/2
    2×0.945571614955334-π/2
    1.89114322991067-1.57079632675     		φ = 0.32034690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51613660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.572449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32034690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.354525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76303 KachelY 58736 0.51613660 0.32034690 29.572449 18.354525
    Oben rechts KachelX + 1 76304 KachelY 58736 0.51618454 0.32034690 29.575196 18.354525
    Unten links KachelX 76303 KachelY + 1 58737 0.51613660 0.32030140 29.572449 18.351918
    Unten rechts KachelX + 1 76304 KachelY + 1 58737 0.51618454 0.32030140 29.575196 18.351918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32034690-0.32030140) × R
    4.54999999999761e-05 × 6371000     		dl = 289.880499999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32034690-0.32030140) × R
    4.54999999999761e-05 × 6371000     		dr = 289.880499999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51613660-0.51618454) × cos(0.32034690) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.949126237829442 × 6371000     		do = 289.887583542955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51613660-0.51618454) × cos(0.32030140) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.949140564607304 × 6371000     		du = 289.891959309685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32034690)-sin(0.32030140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949126237829442-0.949140564607304)×R²
    abs(0.51618454-0.51613660)×1.43267778616174e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.43267778616174e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.43267778616174e-05×40589641000000     		ar = 84033.3919003723m²