Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76303 / 58703
↖ ↑ ↗
← N 18.440530°
E 29.572449°		 ← 289.74 m → N 18.440530°
E 29.575196°		 →
↑
289.75 m
↓
↑
289.75 m
↓
N 18.437925°
E 29.572449°		 ← 289.75 m →
83 955 m²		 N 18.437925°
E 29.575196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582149505615234 y=0.447872161865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582149505615234 × 217)
    floor (0.582149505615234 × 131072)
    floor (76303.5)     		tx = 76303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447872161865234 × 217)
    floor (0.447872161865234 × 131072)
    floor (58703.5)     		ty = 58703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76303 / 58703 ti = "17/76303/58703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76303/58703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76303 ÷ 217
    76303 ÷ 131072     		x = 0.582145690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58703 ÷ 217
    58703 ÷ 131072     		y = 0.447868347167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582145690917969 × 2 - 1) × π
    0.164291381835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.51613660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447868347167969 × 2 - 1) × π
    0.104263305664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.327552835103844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51613660} λ = 0.51613660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327552835103844))-π/2
    2×atan(1.38756836167975)-π/2
    2×0.946322147513833-π/2
    1.89264429502767-1.57079632675     		φ = 0.32184797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51613660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.572449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32184797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.440530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76303 KachelY 58703 0.51613660 0.32184797 29.572449 18.440530
    Oben rechts KachelX + 1 76304 KachelY 58703 0.51618454 0.32184797 29.575196 18.440530
    Unten links KachelX 76303 KachelY + 1 58704 0.51613660 0.32180249 29.572449 18.437925
    Unten rechts KachelX + 1 76304 KachelY + 1 58704 0.51618454 0.32180249 29.575196 18.437925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32184797-0.32180249) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dl = 289.753079999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32184797-0.32180249) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dr = 289.753079999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51613660-0.51618454) × cos(0.32184797) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.94865248803053 × 6371000     		do = 289.742888160047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51613660-0.51618454) × cos(0.32180249) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.94866687329125 × 6371000     		du = 289.747281788947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32184797)-sin(0.32180249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94865248803053-0.94866687329125)×R²
    abs(0.51618454-0.51613660)×1.43852607193962e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.43852607193962e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.43852607193962e-05×40589641000000     		ar = 83954.5308006372m²