Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76302 / 59844
↖ ↑ ↗
← N 15.443091°
E 29.569702°		 ← 294.40 m → N 15.443091°
E 29.572449°		 →
↑
294.34 m
↓
↑
294.34 m
↓
N 15.440444°
E 29.569702°		 ← 294.40 m →
86 654 m²		 N 15.440444°
E 29.572449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582141876220703 y=0.456577301025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582141876220703 × 217)
    floor (0.582141876220703 × 131072)
    floor (76302.5)     		tx = 76302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456577301025391 × 217)
    floor (0.456577301025391 × 131072)
    floor (59844.5)     		ty = 59844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76302 / 59844 ti = "17/76302/59844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76302/59844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76302 ÷ 217
    76302 ÷ 131072     		x = 0.582138061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59844 ÷ 217
    59844 ÷ 131072     		y = 0.456573486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582138061523438 × 2 - 1) × π
    0.164276123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51608866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456573486328125 × 2 - 1) × π
    0.08685302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.27285683263736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51608866} λ = 0.51608866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.27285683263736))-π/2
    2×atan(1.31371215065671)-π/2
    2×0.920164554170672-π/2
    1.84032910834134-1.57079632675     		φ = 0.26953278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51608866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.569702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26953278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.443091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76302 KachelY 59844 0.51608866 0.26953278 29.569702 15.443091
    Oben rechts KachelX + 1 76303 KachelY 59844 0.51613660 0.26953278 29.572449 15.443091
    Unten links KachelX 76302 KachelY + 1 59845 0.51608866 0.26948658 29.569702 15.440444
    Unten rechts KachelX + 1 76303 KachelY + 1 59845 0.51613660 0.26948658 29.572449 15.440444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26953278-0.26948658) × R
    4.62000000000518e-05 × 6371000     		dl = 294.34020000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26953278-0.26948658) × R
    4.62000000000518e-05 × 6371000     		dr = 294.34020000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51608866-0.51613660) × cos(0.26953278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963895413430251 × 6371000     		do = 294.398469929347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51608866-0.51613660) × cos(0.26948658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.963907714589051 × 6371000     		du = 294.402227019877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26953278)-sin(0.26948658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.963895413430251-0.963907714589051)×R²
    abs(0.51613660-0.51608866)×1.23011587995769e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.23011587995769e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.23011587995769e-05×40589641000000     		ar = 86653.8574655544m²