Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76301 / 58506
↖ ↑ ↗
← N 18.953051°
E 29.566955°		 ← 288.87 m → N 18.953051°
E 29.569702°		 →
↑
288.86 m
↓
↑
288.86 m
↓
N 18.950454°
E 29.566955°		 ← 288.87 m →
83 443 m²		 N 18.950454°
E 29.569702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582134246826172 y=0.446369171142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582134246826172 × 217)
    floor (0.582134246826172 × 131072)
    floor (76301.5)     		tx = 76301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446369171142578 × 217)
    floor (0.446369171142578 × 131072)
    floor (58506.5)     		ty = 58506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76301 / 58506 ti = "17/76301/58506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76301/58506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76301 ÷ 217
    76301 ÷ 131072     		x = 0.582130432128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58506 ÷ 217
    58506 ÷ 131072     		y = 0.446365356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582130432128906 × 2 - 1) × π
    0.164260864257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.51604072
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446365356445312 × 2 - 1) × π
    0.107269287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.336996404328995
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51604072} λ = 0.51604072}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.336996404328995))-π/2
    2×atan(1.40073402715075)-π/2
    2×0.950794736889199-π/2
    1.9015894737784-1.57079632675     		φ = 0.33079315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51604072} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.566955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33079315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.953051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76301 KachelY 58506 0.51604072 0.33079315 29.566955 18.953051
    Oben rechts KachelX + 1 76302 KachelY 58506 0.51608866 0.33079315 29.569702 18.953051
    Unten links KachelX 76301 KachelY + 1 58507 0.51604072 0.33074781 29.566955 18.950454
    Unten rechts KachelX + 1 76302 KachelY + 1 58507 0.51608866 0.33074781 29.569702 18.950454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33079315-0.33074781) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dl = 288.861140000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33079315-0.33074781) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dr = 288.861140000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51604072-0.51608866) × cos(0.33079315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945785031255945 × 6371000     		do = 288.867093052081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51604072-0.51608866) × cos(0.33074781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945799756411117 × 6371000     		du = 288.871590493496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33079315)-sin(0.33074781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945785031255945-0.945799756411117)×R²
    abs(0.51608866-0.51604072)×1.47251551719796e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47251551719796e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47251551719796e-05×40589641000000     		ar = 83443.1273898545m²