Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76300 / 58779
↖ ↑ ↗
← N 18.242395°
E 29.564209°		 ← 290.01 m → N 18.242395°
E 29.566955°		 →
↑
290.07 m
↓
↑
290.07 m
↓
N 18.239786°
E 29.564209°		 ← 290.02 m →
84 126 m²		 N 18.239786°
E 29.566955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582126617431641 y=0.448451995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582126617431641 × 217)
    floor (0.582126617431641 × 131072)
    floor (76300.5)     		tx = 76300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448451995849609 × 217)
    floor (0.448451995849609 × 131072)
    floor (58779.5)     		ty = 58779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76300 / 58779 ti = "17/76300/58779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76300/58779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76300 ÷ 217
    76300 ÷ 131072     		x = 0.582122802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58779 ÷ 217
    58779 ÷ 131072     		y = 0.448448181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582122802734375 × 2 - 1) × π
    0.16424560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51599279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448448181152344 × 2 - 1) × π
    0.103103637695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.323909630732719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51599279} λ = 0.51599279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.323909630732719))-π/2
    2×atan(1.38252236394102)-π/2
    2×0.944593087400945-π/2
    1.88918617480189-1.57079632675     		φ = 0.31838985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51599279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.564209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31838985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.242395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76300 KachelY 58779 0.51599279 0.31838985 29.564209 18.242395
    Oben rechts KachelX + 1 76301 KachelY 58779 0.51604072 0.31838985 29.566955 18.242395
    Unten links KachelX 76300 KachelY + 1 58780 0.51599279 0.31834432 29.564209 18.239786
    Unten rechts KachelX + 1 76301 KachelY + 1 58780 0.51604072 0.31834432 29.566955 18.239786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31838985-0.31834432) × R
    4.55299999999603e-05 × 6371000     		dl = 290.071629999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31838985-0.31834432) × R
    4.55299999999603e-05 × 6371000     		dr = 290.071629999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51599279-0.51604072) × cos(0.31838985) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.949740686725611 × 6371000     		do = 290.014744072304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51599279-0.51604072) × cos(0.31834432) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.949754938349607 × 6371000     		du = 290.019095977138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31838985)-sin(0.31834432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949740686725611-0.949754938349607)×R²
    abs(0.51604072-0.51599279)×1.42516239957091e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.42516239957091e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.42516239957091e-05×40589641000000     		ar = 84125.6807336332m²