Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76300 / 58757
↖ ↑ ↗
← N 18.299773°
E 29.564209°		 ← 289.92 m → N 18.299773°
E 29.566955°		 →
↑
289.94 m
↓
↑
289.94 m
↓
N 18.297165°
E 29.564209°		 ← 289.92 m →
84 061 m²		 N 18.297165°
E 29.566955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582126617431641 y=0.448284149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582126617431641 × 217)
    floor (0.582126617431641 × 131072)
    floor (76300.5)     		tx = 76300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448284149169922 × 217)
    floor (0.448284149169922 × 131072)
    floor (58757.5)     		ty = 58757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76300 / 58757 ti = "17/76300/58757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76300/58757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76300 ÷ 217
    76300 ÷ 131072     		x = 0.582122802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58757 ÷ 217
    58757 ÷ 131072     		y = 0.448280334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582122802734375 × 2 - 1) × π
    0.16424560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.51599279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448280334472656 × 2 - 1) × π
    0.103439331054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.324964242524361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51599279} λ = 0.51599279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.324964242524361))-π/2
    2×atan(1.38398115742344)-π/2
    2×0.945093808524266-π/2
    1.89018761704853-1.57079632675     		φ = 0.31939129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51599279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.564209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31939129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.299773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76300 KachelY 58757 0.51599279 0.31939129 29.564209 18.299773
    Oben rechts KachelX + 1 76301 KachelY 58757 0.51604072 0.31939129 29.566955 18.299773
    Unten links KachelX 76300 KachelY + 1 58758 0.51599279 0.31934578 29.564209 18.297165
    Unten rechts KachelX + 1 76301 KachelY + 1 58758 0.51604072 0.31934578 29.566955 18.297165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31939129-0.31934578) × R
    4.55099999999709e-05 × 6371000     		dl = 289.944209999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31939129-0.31934578) × R
    4.55099999999709e-05 × 6371000     		dr = 289.944209999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51599279-0.51604072) × cos(0.31939129) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.949426722022648 × 6371000     		do = 289.918871173259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51599279-0.51604072) × cos(0.31934578) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.949441010664867 × 6371000     		du = 289.923234382053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31939129)-sin(0.31934578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949426722022648-0.949441010664867)×R²
    abs(0.51604072-0.51599279)×1.42886422189736e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.42886422189736e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.42886422189736e-05×40589641000000     		ar = 84060.9306244802m²