Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7630 / 5051
↖ ↑ ↗
← N 56.619976°
W 12.348633°		 ← 1 344.23 m → N 56.619976°
W 12.326660°		 →
↑
1 344.47 m
↓
↑
1 344.47 m
↓
N 56.607885°
W 12.348633°		 ← 1 344.66 m →
1 807 571 m²		 N 56.607885°
W 12.326660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465728759765625 y=0.308319091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465728759765625 × 214)
    floor (0.465728759765625 × 16384)
    floor (7630.5)     		tx = 7630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308319091796875 × 214)
    floor (0.308319091796875 × 16384)
    floor (5051.5)     		ty = 5051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7630 / 5051 ti = "14/7630/5051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7630/5051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7630 ÷ 214
    7630 ÷ 16384     		x = 0.4656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5051 ÷ 214
    5051 ÷ 16384     		y = 0.30828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4656982421875 × 2 - 1) × π
    -0.068603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21552430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30828857421875 × 2 - 1) × π
    0.3834228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20455841365277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21552430} λ = -0.21552430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20455841365277))-π/2
    2×atan(3.33528593609818)-π/2
    2×1.27950066979966-π/2
    2.55900133959932-1.57079632675     		φ = 0.98820501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21552430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.348633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98820501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.619976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7630 KachelY 5051 -0.21552430 0.98820501 -12.348633 56.619976
    Oben rechts KachelX + 1 7631 KachelY 5051 -0.21514081 0.98820501 -12.326660 56.619976
    Unten links KachelX 7630 KachelY + 1 5052 -0.21552430 0.98799398 -12.348633 56.607885
    Unten rechts KachelX + 1 7631 KachelY + 1 5052 -0.21514081 0.98799398 -12.326660 56.607885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98820501-0.98799398) × R
    0.000211030000000001 × 6371000     		dl = 1344.47213000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98820501-0.98799398) × R
    0.000211030000000001 × 6371000     		dr = 1344.47213000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21552430--0.21514081) × cos(0.98820501) × R
    0.000383490000000014 × 0.550189634110927 × 6371000     		do = 1344.23145136456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21552430--0.21514081) × cos(0.98799398) × R
    0.000383490000000014 × 0.550365840294863 × 6371000     		du = 1344.66196091924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98820501)-sin(0.98799398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550189634110927-0.550365840294863)×R²
    abs(-0.21514081--0.21552430)×0.00017620618393599×R²
    0.000383490000000014×0.00017620618393599×6371000²
    0.000383490000000014×0.00017620618393599×40589641000000     		ar = 1807571.13338602m²