Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 763 / 1270
↖ ↑ ↗
← S 39.639537°
W 45.878906°		 ← 15.052 km → S 39.639537°
W 45.703125°		 →
↑
15.037 km
↓
↑
15.037 km
↓
S 39.774770°
W 45.878906°		 ← 15.022 km →
226.115 km²		 S 39.774770°
W 45.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.372802734375 y=0.620361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.372802734375 × 211)
    floor (0.372802734375 × 2048)
    floor (763.5)     		tx = 763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620361328125 × 211)
    floor (0.620361328125 × 2048)
    floor (1270.5)     		ty = 1270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 763 / 1270 ti = "11/763/1270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/763/1270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 763 ÷ 211
    763 ÷ 2048     		x = 0.37255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1270 ÷ 211
    1270 ÷ 2048     		y = 0.6201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37255859375 × 2 - 1) × π
    -0.2548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80073797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6201171875 × 2 - 1) × π
    -0.240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.754718547618164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80073797} λ = -0.80073797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754718547618164))-π/2
    2×atan(0.470142918955338)-π/2
    2×0.439477941172668-π/2
    0.878955882345336-1.57079632675     		φ = -0.69184044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80073797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69184044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.639537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 763 KachelY 1270 -0.80073797 -0.69184044 -45.878906 -39.639537
    Oben rechts KachelX + 1 764 KachelY 1270 -0.79767001 -0.69184044 -45.703125 -39.639537
    Unten links KachelX 763 KachelY + 1 1271 -0.80073797 -0.69420069 -45.878906 -39.774770
    Unten rechts KachelX + 1 764 KachelY + 1 1271 -0.79767001 -0.69420069 -45.703125 -39.774770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69184044--0.69420069) × R
    0.00236024999999995 × 6371000     		dl = 15037.1527499997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69184044--0.69420069) × R
    0.00236024999999995 × 6371000     		dr = 15037.1527499997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80073797--0.79767001) × cos(-0.69184044) × R
    0.00306795999999998 × 0.770073200977456 × 6371000     		do = 15051.8301175406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80073797--0.79767001) × cos(-0.69420069) × R
    0.00306795999999998 × 0.768565322869847 × 6371000     		du = 15022.3571725207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69184044)-sin(-0.69420069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770073200977456-0.768565322869847)×R²
    abs(-0.79767001--0.80073797)×0.00150787810760977×R²
    0.00306795999999998×0.00150787810760977×6371000²
    0.00306795999999998×0.00150787810760977×40589641000000     		ar = 226115179.02621m²