Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76299 / 58763
↖ ↑ ↗
← N 18.284126°
E 29.561462°		 ← 290.01 m → N 18.284126°
E 29.564209°		 →
↑
289.94 m
↓
↑
289.94 m
↓
N 18.281518°
E 29.561462°		 ← 290.01 m →
84 086 m²		 N 18.281518°
E 29.564209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582118988037109 y=0.448329925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582118988037109 × 217)
    floor (0.582118988037109 × 131072)
    floor (76299.5)     		tx = 76299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448329925537109 × 217)
    floor (0.448329925537109 × 131072)
    floor (58763.5)     		ty = 58763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76299 / 58763 ti = "17/76299/58763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76299/58763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76299 ÷ 217
    76299 ÷ 131072     		x = 0.582115173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58763 ÷ 217
    58763 ÷ 131072     		y = 0.448326110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582115173339844 × 2 - 1) × π
    0.164230346679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.51594485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448326110839844 × 2 - 1) × π
    0.103347778320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.32467662112664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51594485} λ = 0.51594485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.32467662112664))-π/2
    2×atan(1.3835831520687)-π/2
    2×0.944957264640026-π/2
    1.88991452928005-1.57079632675     		φ = 0.31911820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51594485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.561462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31911820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.284126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76299 KachelY 58763 0.51594485 0.31911820 29.561462 18.284126
    Oben rechts KachelX + 1 76300 KachelY 58763 0.51599279 0.31911820 29.564209 18.284126
    Unten links KachelX 76299 KachelY + 1 58764 0.51594485 0.31907269 29.561462 18.281518
    Unten rechts KachelX + 1 76300 KachelY + 1 58764 0.51599279 0.31907269 29.564209 18.281518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31911820-0.31907269) × R
    4.55100000000264e-05 × 6371000     		dl = 289.944210000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31911820-0.31907269) × R
    4.55100000000264e-05 × 6371000     		dr = 289.944210000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51594485-0.51599279) × cos(0.31911820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949512433790588 × 6371000     		do = 290.005537729501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51594485-0.51599279) × cos(0.31907269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949526710632401 × 6371000     		du = 290.009898244477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31911820)-sin(0.31907269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949512433790588-0.949526710632401)×R²
    abs(0.51599279-0.51594485)×1.42768418127659e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42768418127659e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42768418127659e-05×40589641000000     		ar = 84086.0587001652m²