Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76299 / 58698
↖ ↑ ↗
← N 18.453558°
E 29.561462°		 ← 289.72 m → N 18.453558°
E 29.564209°		 →
↑
289.75 m
↓
↑
289.75 m
↓
N 18.450952°
E 29.561462°		 ← 289.73 m →
83 948 m²		 N 18.450952°
E 29.564209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582118988037109 y=0.447834014892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582118988037109 × 217)
    floor (0.582118988037109 × 131072)
    floor (76299.5)     		tx = 76299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447834014892578 × 217)
    floor (0.447834014892578 × 131072)
    floor (58698.5)     		ty = 58698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76299 / 58698 ti = "17/76299/58698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76299/58698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76299 ÷ 217
    76299 ÷ 131072     		x = 0.582115173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58698 ÷ 217
    58698 ÷ 131072     		y = 0.447830200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582115173339844 × 2 - 1) × π
    0.164230346679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.51594485
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447830200195312 × 2 - 1) × π
    0.104339599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.327792519601944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51594485} λ = 0.51594485}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327792519601944))-π/2
    2×atan(1.38790098016626)-π/2
    2×0.946435831850994-π/2
    1.89287166370199-1.57079632675     		φ = 0.32207534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51594485} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.561462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32207534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.453558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76299 KachelY 58698 0.51594485 0.32207534 29.561462 18.453558
    Oben rechts KachelX + 1 76300 KachelY 58698 0.51599279 0.32207534 29.564209 18.453558
    Unten links KachelX 76299 KachelY + 1 58699 0.51594485 0.32202986 29.561462 18.450952
    Unten rechts KachelX + 1 76300 KachelY + 1 58699 0.51599279 0.32202986 29.564209 18.450952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32207534-0.32202986) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dl = 289.753079999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32207534-0.32202986) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dr = 289.753079999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51594485-0.51599279) × cos(0.32207534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94858054179028 × 6371000     		do = 289.720913925707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51594485-0.51599279) × cos(0.32202986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948594936860516 × 6371000     		du = 289.725310550686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32207534)-sin(0.32202986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94858054179028-0.948594936860516)×R²
    abs(0.51599279-0.51594485)×1.43950702357065e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.43950702357065e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.43950702357065e-05×40589641000000     		ar = 83948.1641326457m²