Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76298 / 58756
↖ ↑ ↗
← N 18.302380°
E 29.558716°		 ← 289.97 m → N 18.302380°
E 29.561462°		 →
↑
289.94 m
↓
↑
289.94 m
↓
N 18.299773°
E 29.558716°		 ← 289.98 m →
84 077 m²		 N 18.299773°
E 29.561462°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.582111358642578 y=0.448276519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.582111358642578 × 217)
    floor (0.582111358642578 × 131072)
    floor (76298.5)     		tx = 76298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448276519775391 × 217)
    floor (0.448276519775391 × 131072)
    floor (58756.5)     		ty = 58756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76298 / 58756 ti = "17/76298/58756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76298/58756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76298 ÷ 217
    76298 ÷ 131072     		x = 0.582107543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58756 ÷ 217
    58756 ÷ 131072     		y = 0.448272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.582107543945312 × 2 - 1) × π
    0.164215087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51589691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448272705078125 × 2 - 1) × π
    0.10345458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.325012179423981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51589691} λ = 0.51589691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325012179423981))-π/2
    2×atan(1.38404750277944)-π/2
    2×0.945116564639732-π/2
    1.89023312927946-1.57079632675     		φ = 0.31943680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51589691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.558716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31943680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.302380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76298 KachelY 58756 0.51589691 0.31943680 29.558716 18.302380
    Oben rechts KachelX + 1 76299 KachelY 58756 0.51594485 0.31943680 29.561462 18.302380
    Unten links KachelX 76298 KachelY + 1 58757 0.51589691 0.31939129 29.558716 18.299773
    Unten rechts KachelX + 1 76299 KachelY + 1 58757 0.51594485 0.31939129 29.561462 18.299773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31943680-0.31939129) × R
    4.55100000000264e-05 × 6371000     		dl = 289.944210000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31943680-0.31939129) × R
    4.55100000000264e-05 × 6371000     		dr = 289.944210000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51589691-0.51594485) × cos(0.31943680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949412431414014 × 6371000     		do = 289.974994429634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51589691-0.51594485) × cos(0.31939129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.949426722022648 × 6371000     		du = 289.979359149351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31943680)-sin(0.31939129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949412431414014-0.949426722022648)×R²
    abs(0.51594485-0.51589691)×1.42906086337824e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42906086337824e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42906086337824e-05×40589641000000     		ar = 84077.2034568661m²